Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Фиг. 15.2. Если в симметричной системе чистое состояние |1> развивается во времени так, как показано в части (а), то чистое состояние |2> будет во времени развиваться так, как показано в части (б).

Итак, если физика системы симметрична относительно некоторой плоскости и мы рассчитали поведение того или иного состояния, то нам также известно поведение состояния, которое получилось бы после отражения исходного состояния в плоскости симметрии.

То же самое можно высказать чуть более общо, т. е. чуть более отвлеченно. Пусть ^ Q — любая из множества операций, которые вы можете произвести над системой, не меняя физики . К примеру, за ^ Q мы можем принять операцию отражения в плоскости, расположенной посредине между двумя атомами молекулы водорода. Или в системе с двумя электронами можно было бы под ^ Q подразумевать операцию обмена двумя электронами. Третьей возможностью явилась бы в сферически симметричной системе операция поворота всей системы на конечный угол вокруг некоторой оси; от этого физика не изменится. Конечно, в каждом отдельном случае мы бы обозначали ^ Q по-своему. В частности, через ^ R y (θ) мы обычно будем обозначать операцию «поверни систему вокруг оси у на угол θ». Под ^ Q мы просто понимаем один из названных операторов или любой другой, который оставляет всю физическую ситуацию неизменной. Оператор ^ Q мы будем называть оператором симметрии для системы.

Вот вам еще примеры операторов симметрии. Если у нас имеется атом, а внешнее магнитное или внешнее электрическое поле отсутствует, то после поворота системы координат вокруг любой оси физическая система остается той же самой. Опять-таки молекула аммиака симметрична относительно отражения в плоскости, параллельной той, в которой лежат три атома водорода (пока нет электрического поля). Если есть электрическое поле, то при отражении надо было бы обратить и поле, а это меняет всю физическую задачу. Но пока внешнего поля нет, молекула симметрична.

Теперь рассмотрим общий случай. Положим, мы начали с состояния |ψ 1>, а через некоторое время или под влиянием других физических условий оно превратилось в состояние |ψ 2>. Напишем

(15.6)

[Посмотрите на формулу (15.4).] Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию ^ Q . Состояние |ψ 1> преобразится в состояние |ψ' 1>, которое также записывается в виде ^ Q |ψ 1>. А состояние |ψ 2> превращается в |ψ' 2>=^ Q |ψ 2>. И вот, если физика симметрична относительно ^ Q (не забывайте про это, если это отнюдь не общее свойство системы), тогда, подождав в тех же условиях то же время, мы должны получить

е m — некоторое веществе(15.7)

[Как в (15.5).] Но вместо |ψ' 1> можно написать ^ Q |ψ 1>, а вместо |ψ 2> написать ^ Q |ψ 2>, так что (15.7) переписывается в виде

(15.8)

Теперь, если |ψ 2> заменить на ^ U |ψ 1> [см. (15.6)], то получим

(15.9)

Нетрудно понять, что это значит. В отношении атома водорода это означает, что «отразить и после немного подождать» [правая часть (15.9)] — это то же самое, что «немного подождать, а после отразить» [левая часть (15.9)]. Они должны совпасть, если только ^ U при отражении не меняется.

А поскольку (15.9) справедливо при любом исходном состоянии |ψ 1>, то на самом деле это уравнение для операторов

(15.10)

Это-то мы и хотели получить — математическую формулировку симметрии . Когда соблюдается (15.10), мы говорим, что операторы ^ U и ^ Q коммутируют . Тогда «симметрию» можно определить следующим образом: физическая система симметрична относительно операции ^ Q , когда ^ Q коммутирует с ^ U ( с операцией прошествия времени). [На языке матриц произведение двух операторов равнозначно матричному произведению, так что (15.10) в системе, симметричной относительно преобразования ^ Q , выполняется и для матриц ^ Q и ^ U .]

Кстати, поскольку для бесконечно малого времени 8 мы имеем [7=1 — i ^ H ε/ ℏ , где ^ H — обычный гамильтониан [см. гл. 6 (вып. 8)], то легко видеть, что когда (15.10) выполнено, то выполнено и

(15.11)

Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора ^ Q . Она определяет симметрию.

Прежде чем применять только что найденный результат, хотелось бы еще немного вникнуть в идею симметрии. Положим, что стечение обстоятельств таково, что после действия оператора ^ Q на состояние получается опять то же состояние. Это очень частный случай, но все же допустим, что так сложилось, что состояние |ψ'>=^Q|ψ 0>. физически совпадает с состоянием |ψ 0>. Это значит, что |ψ'> равняется |ψ 0>, если не считать некоторого фазового множителя [59] Кстати, вы можете доказать, что ^ Q — это обязательно унитарный оператор , т. е. если он действует на |ψ>, приводя к |ψ>, умноженному на некоторое число, то это число должно иметь вид е iδ , где δ — вещественно. Это мелкое замечание, а доказательство основано на следующем наблюдении. Всякая операция наподобие отражения или поворота не приводит к потере каких-либо частиц, так что нормировки |ψ'> и |ψ> должны совпадать; отличаться они вправе только на множитель с чисто вещественной фазой в показателе. . Как это себе представлять? Пусть, например, имеется ион H 2 +в состоянии, которое мы когда-то обозначали | I >. У этого состояния имеется одинаковая амплитуда побывать в базисных состояниях |1> и |2>. Вероятности показаны столбиками на фиг. 15.3, а .

Фиг. 15.3. Состояние |I> и состояние ^P|I>, получаемые отражением |I> в плоскости, проходящей посредине между атомами в ионе Н 2 + .

Если мы на состояние | I > подействуем оператором отражения ^ P , он перевернет его, поменяв местами |1> с|2>, а |2> с|1>; получатся вероятности, показанные на фиг. 15.3,б. Перед нами опять состояние | I >. Если начать с состояния | II >, то вероятности до и после отражения будут выглядеть тоже одинаково. Правда, если посмотреть на амплитуды , то разница все же есть. У состояния | I > после отражения амплитуды останутся теми же , у состояния | II > они приобретут противоположный знак. Иными словами,