Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Теперь у нас есть все, чтобы найти амплитуду того, что фотон будет испущен под углом θ к оси z . Пусть вначале атом поляризован так, что m =+1. Это состояние мы можем разложить на состояния с m =+1, 0, -1 относительно новой оси z', проведенной в направлении испускания фотона. Амплитуды этих трех состояний — как раз те, которые были приведены в нижней половине табл. 15.2. Амплитуда того, что правый фотон испускается в направлении θ, равна тогда произведению а на амплитуду того, что в этом направлении будет m =+1, а именно

(16.1)

Амплитуда того, что в том же направлении будет испущен левый фотон, равна произведению - а на амплитуду того, что в новом направлении будет m =-1. Из табл. 15.2 следует

(16.2)

Если вас интересуют другие поляризации, то их амплитуды вы получите из суперпозиции этих двух амплитуд. Чтобы получить интенсивность любой компоненты как функцию угла, вам придется, конечно, взять квадрат модуля амплитуд.

Воспользуемся этими результатами, чтобы решить немного более сложную задачу, но зато и более близкую к реальности. Предположим, что те же атомы находятся в своем основном состоянии ( j =0) и рассеивают падающий на них пучок света. Пусть свет первоначально распространяется в направлении + z , так что фотоны падают на атом из направления - z , как показано на фиг. 16.4, а .

Фиг. 16.4. Рассеяние света атомом, рассматриваемое как процесс, состоящий из двух шагов.

Рассеяние света мы можем рассматривать как процесс, состоящий из двух шагов: фотон поглощается, а затем вновь излучается. Если мы начнем с правого фотона (фиг. 16.4, а ) и если момент количества движения сохраняется, то после поглощения атом окажется в состоянии с m =+1 (фиг. 16.4, б ). Амплитуду этого процесса мы обозначим с . Затем атом может испустить правый фотон в направлении θ (фиг.16.4, в ). Полная амплитуда того, что правый фотон рассеется в направлении θ, равна просто произведению с на (16.1). Обозначая эту амплитуду рассеяния < R ' | S | R >, имеем

(16.3)

Имеется также амплитуда того, что поглотится правый фотон, а излучится левый. Произведение обеих амплитуд — это амплитуда S | R > — амплитуда того, что правый фотон, рассеявшись, превратится в левый. Используя (16.2), имеем

(16.4)

Теперь посмотрим, что происходит, если на атом падает левый фотон. Когда он поглощается, сам атом переходит в состояние с m =-1. Рассуждая так же, как в предыдущем параграфе, можно показать, что эта амплитуда будет равна - с . Амплитуда того, что атом в состоянии с m =-1 испустит правый фотон под углом θ, равна произведению а на амплитуду <+| R y (θ)| —>, равную 1/ 2(1- cosθ). В итоге получается

(16.5)

Наконец, амплитуда того, что левый фотон после рассеяния останется левым, есть

(16.6)

(здесь минус на минус дал плюс).

Если мы измеряем интенсивность рассеяния для любой данной комбинации круговых поляризаций, то она будет пропорциональна квадрату одной из этих четырех амплитуд. Например, если падает правополяризованный пучок света, то интенсивность правополяризованного света в рассеянном излучении будет меняться как (1+cosθ) 2.

Все это прекрасно, но допустим, что мы хотели бы начать с линейно поляризованного света. Чего можно было бы тогда ожидать? Если свет поляризован вдоль оси х , его можно представить как суперпозицию право- и левополяризованного по кругу света. Мы пишем [см. гл. 9, § 4 (вып. 8)]

(16.7)

Или если свет поляризован вдоль оси у , то

(16.8)

Что вы теперь хотите знать? Хотите знать амплитуду того, что х - поляризованный фотон рассеется под углом θ как правый фотон? Пожалуйста. Примените для этого обычное правило комбинирования амплитуд. Сначала умножьте (16.7) на < R '| S . Вы получите

(16.9)

Теперь подставьте сюда (16.3) и (16.5). Получается

(16.10)

Если бы вам нужна была амплитуда того, что x-фотон рассеется как левый фотон, то вы бы получили

(16.11)

Наконец, представим, что вас заинтересовала амплитуда того, что x -поляризованный фотон рассеется, сохранив свою x -поляризацию. Значит, вам нужно знать <���х'| S | х >. Это можно записать так:

(16.12)

Если вы затем вспомните соотношения

(16.13)

(16.14)

то из них последует

(16.16)

(16.16)

В итоге вы получите

(16.17)

Ответ, стало быть, состоит в том, что пучок x -поляризованного света рассеивается в направлении θ (в плоскости xz ) с интенсивностью , пропорциональной cos 2θ. Если же нас интересует y -поляризованный свет, то