Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

всегда можно написать

Получается уравнение, связывающее скалярные произведения и справедливое для любого вектора С. Но если оно верно для любого С, то едва ли имеет смысл вообще писать это С!

Теперь вернемся к (6.1). Это уравнение справедливо при любых χ. Значит, для сокращения письма мы должны просто убрать χ и написать вместо (6.1) уравнение (6.8). Это уравнение снабдит нас той же самой информацией, лишь бы мы понимали, что его всегда надлежит «завершить», «умножив слева на...», т. е. просто дописав некоторое <���χ| по обе стороны знака равенства. Следовательно, (6.8) означает в точности то же, что и (6.1), — ни более ни менее. Если вы предпочитаете числа, вы подставляете то <���χ|, которое вам нужно.

Может быть, вы в уравнении (6.8) уже нацелились и на φ? Раз (6.8) справедливо при любом φ, зачем же нам его держать? И действительно, Дирак предлагает абстрагироваться и от φ, так что остается только

(6.9)

Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния χ и φ с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1). Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний.

Посмотрим на уравнение (6.8) еще раз; его можно рассматривать следующим образом. Любой вектор состояния |φ> может быть представлен в виде линейной комбинации совокупности базисных «векторов» с подходящими коэффициентами, или, если угодно, в виде суперпозиции «единичных векторов» в подходящих пропорциях. Чтобы подчеркнуть, что коэффициенты < i |φ> — это просто обычные (комплексные) числа, напишем

Тогда (6.8) совпадает с

(6.10)

Такое же уравнение можно написать и для всякого другого вектора состояния, скажем для |χ>, но, конечно, с другими коэффициентами, скажем с D i . Тогда будем иметь

(6.11)

где D i — это просто амплитуды < i |χ>.

Представим, что мы начали бы с того, что в (6.1) абстрагировались бы от φ. Тогда мы бы имели

(6.12)

Вспоминая, что <���χ| i >=< i |χ>*, можно записать это в виде

(6.13)

А теперь интересно вот что: чтобы обратно получить <���χ|φ>, можно просто перемножить (6.13) и (6.10). Только, делая это, надо быть внимательным к индексам суммирования, потому что они в разных уравнениях разные. Перепишем сперва (6.13):

Это ничего не меняет. Объединяя с (6.10), получаем

(6.14)

Вспомните, однако, что i >=δ ij, так что в сумме останутся только члены с j = i . Выйдет

(6.15)

где, как вы помните, D i *=< i |χ>*=<���χ| i >, а C i =. Опять мы являемся свидетелями тесной аналогии со скалярным произведением

Единственная разница — что D i нужно комплексно сопрягать. Значит, (6.15) утверждает, что если разложить векторы состояний <���χ| и |φ> по базисным векторам < i | или | i >, то амплитуда перехода из φ в χ дается своего рода скалярным произведением (6.15). А это просто (6.1), записанное в других символах. Мы ходим по кругу, привыкая к новым символам.

Может быть, стоит подчеркнуть, что в то время, как пространственные трехмерные векторы выражаются через три ортогональных единичных вектора, базисные векторы | i > квантовомеханических состояний должны пробегать всю совокупность, отвечающую данной задаче. В зависимости от положения вещей в нее может входить два или три, пять или бесконечно много базисных состояний.

Мы говорили также о том, что происходит, когда частицы проходят через прибор. Если мы выпустим частицы в определенном состоянии φ, затем проведем их через прибор, а после проделаем измерение, чтобы посмотреть, находятся ли они в состоянии χ, то результат будет описываться амплитудой

(6.16)

Такой символ не имеет близкого аналога в векторной алгебре. (Он ближе к тензорной алгебре, но эта аналогия не так уж полезна.) Мы видели в гл. 3 [формула (3.32)], что (6.16) можно переписать так:

(6.17)

Это пример двукратного применения основного правила (6.9).

Мы обнаружили также, что если вслед за прибором А по ставить другой прибор B, то можно написать

(6.18)

Это опять-таки следует прямо из предложенного Дираком метода записи уравнения (6.9). Вспомните, что между В и A всегда можно поставить черту (|), которая ведет себя совсем как множитель единица.

Кстати говоря, об уравнении (6.17) можно рассуждать и иначе. Предположим, что мы рассуждаем о частице, попадающей в прибор А в состоянии φ и выходящей из него в состоянии ψ. Мы можем задать себе такой вопрос: можно ли найти такое состояние ψ, чтобы амплитуда перехода от ψ к χ тождественно совпадала с амплитудой <���χ| A |φ>? Ответ гласит: да. Мы хотим, чтобы (6.17) заменилось уравнением

(6.19)