Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

(5.34)

Этот результат приводит к интересным следствиям. Пусть частица со спином 1/ 2находится в каком-то состоянии, которое не есть ни чистое состояние со спином вверх, ни чистое состояние со спином вниз. Его можно описать через амплитуды пребывания в этих двух состояниях. Но в магнитном поле у этих двух состояний фазы начнут меняться с разной скоростью. И если мы поставим какой-нибудь вопрос насчет амплитуд, то ответ будет зависеть от того, сколько времени частица провела в этом поле.

В виде примера рассмотрим распад мюона в магнитном поле. Когда мюоны возникают в результате распада π-мезонов, они оказываются поляризованными (иными словами, у них есть предпочтительное направление спина). Мюоны в свою очередь распадаются (в среднем через 2,2 мксек ), испуская электрон и пару нейтрино:

При этом распаде оказывается, что (по крайней мере при высоких энергиях) электроны испускаются преимущественно в направлении, противоположном направлению спина мюона.

Допустим затем, что имеется экспериментальное устройство (фиг. 5.9): поляризованные мюоны входят слева и в блоке вещества А останавливаются, а чуть позже распадаются.

Фиг .. 5.9. Опыт с распадом мюона .

Испускаемые электроны выходят, вообще говоря, во всех мыслимых направлениях. Представим, однако, что все мюоны будут входить в тормозящий блок А так, что их спины будут повернуты в направлении х . Без магнитного поля там наблюдалось бы какое-то угловое распределение направлений распада; мы же хотим знать, как изменилось бы это распределение при наличии магнитного поля. Можно ожидать, что оно как-то будет меняться со временем. То, что получится, можно узнать, спросив, какой будет в каждый момент амплитуда того, что мюон обнаружится в состоянии (+ x ).

Эту задачу можно сформулировать следующим образом: пусть известно, что в момент t=0 спин мюона направлен по + х ; какова амплитуда того, что в момент m он окажется в том же состоянии? И хотя мы не знаем правил поведения частицы со спином 1/ 2в магнитном поле, перпендикулярном к спину, но зато мы знаем, что бывает с состояниями, когда спины направлены вверх или вниз по полю, — тогда их амплитуды умножаются на выражение (5.34). Наша процедура тогда будет состоять в том, чтобы выбрать представление, в котором базисные состояния — это направления спином вверх или спином вниз относительно z (относительно направления поля). И любой вопрос тогда сможет быть выражен через амплитуды этих состояний.

Пусть |ψ(t)> представляет состояние мюона. Когда он входит в блок А , его состояние есть |ψ(0)>, а мы хотим знать |ψ(τ)> в более позднее время τ. Если два базисных состояния обозначить (+ z ) и (- z ), то нам известны амплитуды <+ z |ψ(0)> и <- z |ψ(0)> — они известны потому, что мы знаем, что |ψ(0)> представляет собой состояние со спином в направлении (+ x ). Из предыдущей главы следует, что эти амплитуды равны [18] Если вы пропустили гл. 4, то можете пока просто считать (5.35) невыведенным правилом. Позже, в гл. 8, мы разберем прецессию спина подробнее, будут получены и эти амплитуды.

и

(5.35)

Они оказываются одинаковыми. Раз они относятся к положению при t=0, обозначим их С +(0) и С -(0).

Далее, мы знаем, что из этих двух амплитуд получится со временем. Из (5.34) следует

и

(5.36)

Но если нам известны C +( t ) и C -( t ), то у нас есть все, чтобы знать условия в момент t . Надо преодолеть только еще одно затруднение: нужна-то нам вероятность того, что спин (в момент t ) окажется направленным по + х . Но наши общие правила учитывают и эту задачу. Мы пишем, что амплитуда пребывания в состоянии (+ x ) в момент t [обозначим ее A +( t )] есть

или

(5.37)

Опять пользуясь результатом последней главы (или лучше равенством <���φ|χ>=<���χ|φ> *из гл. 3), мы пишем

Итак, в (5.37) все известно. Мы получаем

или

Поразительно простой результат! Заметьте: ответ согласуется с тем, что ожидалось при t =0. Мы получаем А +(0)=1, и это вполне правильно, потому что сперва и было предположено, что при t =0 мюон был в состоянии (+ x ).

Вероятность Р +того, что мюон окажется в состоянии (+ х ) в момент t , есть ( А +) 2, т. е.

Вероятность колеблется от нуля до единицы, как показано на фиг. 5.10.

Фиг. 5.10. Временная зависимость вepoятности того что частица со спином 1 / 2 окажется в состоянии (+) по отношению оси х.

Заметьте, что вероятность возвращается к единице при μ Bt / ℏ =π ( а не при 2π). Из-за того что косинус возведен в квадрат, вероятность повторяется с частотой 2μ В / ℏ .

Итак, мы обнаружили, что шанс поймать в электронном счетчике, показанном на фиг. 5.9, распадный электрон периодически меняется с величиной интервала времени, в течение которого мюон сидел в магнитном поле. Частота зависит от магнитного момента μ. Именно таким образом и был на самом деле измерен магнитный момент мюона.