Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Пусть у нас есть постоянное поле В. Мы бы могли провести нашу ось z в направлении поля и обнаружили бы два стационарных состояния с энергиями ±μ В . Простой выбор другого направления осей не изменил бы физики дела. Наше описание стационарных состояний стало бы иным, но их энергии по-прежнему были бы ±μ B , т. е.

(8.19)

Дальше все уже совсем легко. У нас есть формулы для энергий. Нам нужен гамильтониан, линейный по В х , В y и B z , который даст именно такие энергии, если применить нашу общую формулу (8.3). Задача — найти гамильтониан. Прежде всего заметим, что энергия расщепляется симметрично и ее среднее значение есть нуль. Взглянув на (8.3), мы сразу же увидим, что для этого требуется

(Заметьте, что это подтверждается тем, что нам уже известно при В x = В y =0; в этом случае Н 11=-μ B z и H 22=μ B z .) Если теперь приравнять энергии из (8.3) к тому, что нам известно из (8.19), то получится

(8.20)

(Мы использовали также тот факт, что Н 21= Н 12 *, так что H 12 H 21может быть записано в виде | Н 12| 2.) Опять в частном случае поля в направлении z это даст

откуда | H 12| в этом частном случае равно нулю, что означает, что в H 12не может войти член с В z . (Вы помните, что мы говорили о линейности всех членов по В х , В y и B z .)

Итак, пока мы узнали, что в Н 11и H 22входят члены с В z , а в H 12и H 21— нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнению (8.20), написав

и

(8.21)

Оказывается, что никак иначе этого сделать нельзя!

«Погодите, — скажете вы, — H 12по В не линейно. Из (8.21) следует, что H 12=μ√( В 2 x + В 2 y )». Не обязательно. Есть и другая возможность, которая уже линейна , а именно

На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать

где δ — произвольная фаза.

Какой же знак и какую фазу мы обязаны взять? Оказывается, что можно выбрать любой знак и фазу тоже любую, а физические результаты от этого не изменятся. Так что выбор — это вопрос соглашения. Еще до нас кто-то решил ставить знак минус и брать е iδ=-1. Мы можем делать так же и написать

(Кстати, эти соглашения связаны и согласуются с тем произволом в выборе фаз, который мы использовали в гл. 4.) Полный гамильтониан для электрона в произвольном магнитном поле, следовательно, равен

(8.22)

А уравнения для амплитуд С 1и С 2таковы:

(8.23)

Итак, мы открыли «уравнения движения спиновых состояний» электрона в магнитном поле. Мы угадали их, пользуясь некоторыми физическими аргументами, но истинная проверка всякого гамильтониана заключается в том, что он обязан давать предсказания, согласующиеся с экспериментом. Из всех сделанных проверок следует, что эти уравнения правильны. Более того, хотя все наши рассуждения относились к постоянному полю, написанный нами гамильтониан правилен и тогда, когда магнитные поля меняются со временем. Значит, мы теперь можем применять уравнения (8.23) для решения всевозможных интересных задач.

Пример первый: пусть сначала имеется постоянное поле в направлении z. Ему соответствуют два стационарных состояния с энергиями ±μ В z . Добавим небольшое поле в направлении х . Тогда уравнения получатся такими же, как в нашей старой задаче о двух состояниях. Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщепляются. Пусть, далее, x -компонента поля начнет меняться во времени, скажем, как cosωt. Тогда уравнения станут такими, как для молекулы аммиака в колеблющемся электрическом поле (см. гл. 7). И тем же способом, что и прежде, вы можете рассчитать процесс во всех деталях. При этом вы увидите, что колеблющееся поле приводит к переходам от +z-состояния к —z-состоянию и обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотой, близкой к резонансной, ω 0=2μ B z/ℏ. Это приводит к квантовомеханической теории явлений магнитного резонанса, описанной нами в гл . 35 ( вып . 7).

Можно еще сделать мазер, в котором используется система со спином 1/ 2. Прибор Штерна—Герлаха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении +z, и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодействуя с магнитным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.

Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле В, направление которого характеризуется полярным углом θ и азимутальным углом φ (фиг. 8.10).

Фиг. 8.10. Направление В определяется полярным углом θ и азимутальным углом φ.

Допустим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С 1и С 2для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона |ψ>, мы хотим написать

где C 1и С 2равны