Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

а |1> и |2> обозначают то же самое, что раньше обозначалось |+> и |-> (по отношению к выбранной нами оси z).

Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон находится в стационарном состоянии с энергией Е I =-μ В . Поэтому и C 1и С 2должны изменяться как exp (- iE I t / ℏ ) [см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты а 1и а 2даются формулой (8.5):

(8.24)

Вдобавок a 1и а 2должны быть нормированы так, чтобы было | a | 2+| а 2| 2=1. Величины Н 11и H 12мы можем взять из (8.22), используя равенства

Тогда мы имеем

(8.25)

Кстати, скобка во втором уравнении есть просто e -iφ, так что проще писать

(8.26)

Подставляя эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на -μ B , находим

(8.27)

Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и а 1, и а 2. Сделать это нетрудно, но мы сократим путь, прибегнув к одному трюку. Известно, что 1-cosθ=2sin 2(θ/2) и sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2). Значит, (8.27) совпадает с

(8.28)

Один из ответов, следовательно, таков:

(8.29)

Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию

Вы знаете, что умножение a 1и а 2на произвольный фазовый множитель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на e i φ/2. Принято писать так:

(8.30)

Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а 1и а 2— это амплитуды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (по отношению к оси z ), если известно, что его спин направлен вдоль оси (θ,φ). [Амплитуды C 1и С 2равны просто a 1и a 2, умноженным на exp (- iE I t / ℏ ).

Заметьте теперь занятную вещь. Напряженность В магнитного поля нигде в (8.30) не появляется. Тот же результат, разумеется, получится в пределе, если поле В устремить к нулю. Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином 1/ 2, подобные проекционным амплитудам для частиц со спином 1, приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином 1/ 2амплитуды проникновения через тот или иной фильтр Штерна—Герлаха.

Пусть |+z> представляет состояние со спином, направленным по оси z вверх, а |-z> — состояние со спином вниз. Если |+z'> представляет состояние со спином, направленным вверх по оси z ', образующей с осью z углы θ и φ, то в обозначениях гл. 3 мы имеем

(8.31)

Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто геометрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)]. (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)

Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. Сперва имеется электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении z , а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации |ψ>=|1> C 1+|2> С 2. Но в нашей задаче состояния с определенной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями |1> и |2>. Значит, С 1и С 2меняются только по фазе. Мы знаем, что

и

Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенное направление. Это означает, что вначале С 1и С 2были двумя числами, определяемыми формулами (8.30). Переждав Т секунд, новые С 1и С 2мы получим из прежних умножением соответственно на exp ( i μ B z T / ℏ ) и exp (- i μ B z T / ℏ ). Что это будут за состояния? Узнать это легко, ведь это все равно, что изменить угол φ, вычтя из него 2μ B z T / ℏ , и не трогать угол θ.

Это значит, что к концу интервала времени Т состояние |ψ> будет представлять электрон, выстроенный в направлении, отличающемся от первоначального только поворотом вокруг оси z на угол Δφ=2μ B z T / ℏ . Раз этот угол пропорционален Т , то можно говорить, что направление спина прецессирует вокруг оси z с угловой скоростью 2μ B z / ℏ . Этот результат мы уже получали раньше несколько раз, но не так полно и строго. Теперь мы получили полное и точное квантовомеханическое описание прецессии атомных магнитов.

Любопытно, что математические идеи, которые мы только что применили к электрону, вращающемуся в магнитном поле, применимы и для любой системы с двумя состояниями. Это означает, что, проведя математическую аналогию с вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуровневой системы. Сперва вы сдвигаете энергию так, чтобы ( H 11+ H 22) было равно нулю (так что H 11=- H 22). И тогда любая задача о такой системе формально совпадет с задачей об электроне в магнитном поле. Вам нужно будет только отождествить —μ B z с H 11, а -μ( В х - iB y ) с H 12. И неважно, какая физика там была первоначально — молекула ли аммиака или что другое, — вы можете перевести ее на язык соответствующей задачи об электроне. Стало быть, если мы в состоянии решить в общем случае задачу об электроне, мы уже решили все задачи о двух состояниях.