Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда могут быть выражены через экспоненты. Попробуем и здесь то же самое; в качестве пробного решения выберем

(11.10)

Тогда (11.9) обратится в

(11.11)

Сократим на общий множитель exp ( ikx n ); получим

(11.12)

Два последних члена равняются 2 А cos kb , так что

(11.13)

Мы обнаружили, что при любом выборе постоянной k имеется решение, энергия которого дается этим уравнением. В зависимости от k получаются различные возможные энергии, и каждая k соответствует отдельному решению. Решений бесконечно много, но это и не удивительно, ведь мы исходим из бесконечного числа базисных состояний.

Посмотрим, каков смысл этих решений. Для каждой k уравнение (11.10) дает свои а . Тогда амплитуды обращаются в

(11.14)

причем нужно помнить, что энергия Е также зависит от k в согласии с уравнением (11.13). Множитель exp ( ikx n ) дает пространственную зависимость амплитуд. Амплитуды при переходе от атома к атому колеблются.

При этом имейте в виду, что колебания амплитуды в пространстве комплексны, модуль ее вблизи любого атома один и тот же, а фаза (в данный момент) от атома к атому сдвигается на ikb . Чтобы можно было видеть, что происходит, поставим у каждого атома вертикальную черточку, равную вещественной части амплитуды (фиг. 11.2).

Фиг. 11.2. Изменение вещественной части С n с х n .

Огибающая этих вертикалей (показанная штрихованной линией) является, конечно, косинусоидой. Мнимая часть С n — это тоже колеблющаяся функция, но она сдвинута по фазе на 90°, так что квадрат модуля (сумма квадратов вещественной и мнимой частей) у всех С один и тот же.

Итак, выбирая k , мы получаем стационарное состояние с определенной энергией Е . И в каждом таком состоянии электрону одинаково вероятно оказаться около любого из атомов, никаких преимуществ у одного атома перед другим нет. От атома к атому меняется только фаза. Фазы меняются еще и со временем. Из (11.14) следует, что вещественная и мнимая части распространяются по кристаллу, как волны, как вещественная и мнимая части выражения

(11.15)

Волна может двигаться либо к положительным, либо к отрицательным х , смотря по тому, какой знак выбран для k .

Заметьте, что мы предположили, что поставленное в нашем пробном решении (11.10) число k есть число вещественное. Теперь видно, почему в бесконечной цепочке атомов так и должно быть. Пусть k было бы мнимым числом — ik '. Тогда амплитуды а n менялись бы, как exp ( k ' x n ), что означало бы, что амплитуда растет все выше и выше, когда х возрастает, или при k ' отрицательном, когда х становится большим отрицательным числом. Такой вид решения был бы вполне хорош, если бы цепочка атомов на чем-то кончалась, но в бесконечной цепи атомов это не может быть физическим решением. Оно привело бы к бесконечным амплитудам и, стало быть, к бесконечным вероятностям, которые не могут отражать действительного положения вещей. Позже мы встретимся с примером, когда и у мнимых k есть смысл.

Соотношение (11.13) между энергией Е и волновым числом k изображено на фиг. 11.3.

Фиг. 11.3. Энергия стационарных состояний как функция параметра k.

Как следует из этого рисунка, энергия может меняться от Е 0-2 А при k =0 до Е 0+2 А при k =±π/ b . График начерчен для положительных А , при отрицательных А кривую пришлось бы перевернуть, но область изменения осталась бы прежней. Существенно то, что в некоторой области, или «полосе» энергий допустимы любые значения энергии; вне полосы энергии быть не может. Из наших предположений следует, что если электрон в кристалле находится в стационарном состоянии, энергия его не сможет оказаться вне этой полосы.

Согласно (11.10), меньшие k отвечают более низким энергетическим состояниям Е ≈ Е 0-2 А . Когда k по величине растет (все равно, в положительную или отрицательную сторону), то энергия сперва растет, а потом при k =±π/ b достигает максимума, как показано на фиг. 11.3. Для k , больших, чем π/ b , энергия опять начала бы убывать. Но такие k рассматривать не стоит, они не приведут к каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, которые уже появлялись при меньших k . Вот как в этом можно убедиться. Рассмотрим состояние наинизшей энергии, для которого k =0. Тогда при всех х n коэффициент а ( х n ) будет один и тот же [см. (11.10)]. Та же самая энергия получилась бы и при k =2π/ b . Тогда из (11.10) следовало бы

Но, считая, что начало координат приходится на х 0, можно положить х n = nb , и тогда а ( х n ) превратится в

т. е. состояние, описываемое этими а ( х n ), физически ничем не будет отличаться от состояний при k =0. Оно не представляет особого решения.

В качестве другого примера возьмем k =π/4 b . Вещественная часть а ( х n ) изображена на фиг. 11.4 кривой 1.

Фиг. 11.4. Пара значений к, представляющих одну и ту же физическую ситуацию. Кривая 1—для k=π/4b, кривая 2 —для k=7π/4b.

Если бы k было в семь раз больше ( k =7π/4 b ), то вещественная часть а ( х n ) менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама косинусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках х n .