Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Ясно, что этот электрон сможет перейти к другому атому, перенося в новое место отрицательный ион. Мы предположим, что (в точности, как и в случае электрона, «прыгавшего» от протона к протону) электрон может с какой-то амплитудой «прыгать» от атома к его соседям с любой стороны.

Как же описывать такую систему? Что считать разумными базисными состояниями? Если вы вспомните, что мы делали, когда у электрона было только две возможные позиции, вы сможете догадаться. Пусть в нашей цепочке все расстояния между атомами одинаковы, и пусть мы их пронумеруем по порядку, как на фиг. 11.1, а . Одно базисное состояние — когда электрон находится возле атома № 6; другое базисное состояние — когда электрон находится возле № 7, или возле № 8, и т. д.; n -е базисное состояние можно описать, сказав, что электрон находится возле атома № n . Обозначим это базисное состояние | n >. Из фиг. 11.1 ясно, что подразумевается под тремя базисными состояниями:

С помощью этих наших базисных состояний можно описать любое состояние |φ> нашего одномерного кристалла, задав все амплитуды < n |φ> того, что состояние |φ> находится в одном из базисных состояний, т. е. амплитуду того, что электрон расположен близ данного частного атома. Тогда состояние |φ> можно записать в виде суперпозиции базисных состояний:

(11.1)

Кроме того, мы хотим еще предположить, что когда электрон находится близ одного из атомов, то имеется некоторая амплитуда того, что он просочится к тому атому, что слева, или к тому, что справа. Возьмем простейший случай, когда считается, что он может просочиться только к ближайшим соседям, а к следующему соседу он сможет дойти в два приема. Примем, что амплитуды того, что электрон перепрыгнет от одного атома к соседнему, равны iA / ℏ (за единицу времени).

Изменим на время обозначения, и амплитуду < n |φ>, связанную с n -м атомом, обозначим через С n . Тогда (11.1) будет иметь вид

(11.2)

Если бы вы знали каждую из амплитуд С n в данный момент, то, взяв квадраты их модулей, можно было бы получить вероятность того, что вы увидите электрон, взглянув в этот момент на атом n .

Но что сталось бы чуть позже? По аналогии с изученными нами системами с двумя состояниями мы предлагаем составить гамильтоновы уравнения для этой системы в виде уравнений такого типа:

(11.3)

Первый справа коэффициент Е 0физически означает энергию, которую имел бы электрон, если бы он не мог просачиваться от одного атома к другим. (Совершенно неважно, что мы назовем Е 0; мы неоднократно видели, что реально это не означает ничего, кроме выбора нуля энергии.) Следующий член представляет амплитуду в единицу времени того, что электрон из ( n +1)-й ямки просочится в n -ю ямку, а последний член означает амплитуду просачивания из ( n -1)-й ямки. Как обычно, А считается постоянным (не зависящим от t ).

Для полного описания поведения любого состояния |φ> надо для каждой из амплитуд С n иметь по одному уравнению типа (11.3). Поскольку мы намерены рассмотреть кристалл с очень большим количеством атомов, то допустим, что состояний имеется бесконечно много, атомы тянутся без конца в обе стороны. (При конечном числе атомов придется специально обращать внимание на то, что случается на концах.) А если количество N наших базисных состояний бесконечно велико, то и вся система наших гамильтоновых уравнений бесконечна! Мы напишем только часть ее:

(11.4)

Об электроне в решетке мы теперь уже можем узнать очень многое. Для начала попробуем отыскать состояния определенной энергии. Как мы видели в предыдущих главах, это означает, что надо отыскать такой случай, когда все амплитуды меняются с одной частотой, если только они вообще меняются. Мы ищем решение в виде

(11.5)

Комплексное число а n говорит нам о том, какова не зависящая от времени часть амплитуды того, что электроны будут обнаружены возле n -го атома. Если это пробное решение подставить для проверки в уравнения (11.4), то получим

(11.6)

Перед нами бесконечное число уравнений для бесконечного количества неизвестных а n ! Ситуация тяжелая!

Но мы знаем, что надо только взять детерминант... нет, погодите! Детерминанты хороши, когда уравнений два, три или четыре. Но здесь их очень много, даже бесконечно много, и вряд ли от детерминантов будет толк. Нет, лучше попробовать решать эти уравнения прямо. Во-первых, пронумеруем положения атомов; будем считать, что n -й атом находится в х n , а ( n +1)-й— в х n +1. Если расстояние между атомами равно b (как на фиг. 11.1), то х n +1= х n + b . Взяв начало координат в атоме номер нуль, можно даже получить х n = nb . Уравнение (11.5) можно тогда переписать в виде

(11.7)

а уравнение (11.6) превратится в

(11.8)

Пользуясь тем, что x n +1= x n + b , это выражение можно также записать в виде

(11.9)

Это уравнение немного походит на дифференциальное. Оно говорит, что величина а ( х ) в точке х n связана с той же физической величиной в соседних точках х n ± b . (Дифференциальное уравнение связывает значения функции в точке с ее значениями в бесконечно близких точках.) Может быть, здесь подойдут методы, которыми мы обычно пользуемся для решения дифференциальных уравнений? Попробуем.