Айзек Азимов - Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики

Теперь рассмотрим силу упругости. Она, конечно, зависит от силы тяжести. Полное значение натяжения нити, вызванное силой тяжести, направленной вниз, соответственно должно быть равно mg, где m — масса отвеса, a g — ускорение свободного падения [32] На самом деле струна (нить) также имеет массу, какой бы легкой она ни была. Таким образом, мы имеем массу, распределенную по линии маятника от отвеса до центра закрепления. В каждой данной точке струна обладает некоторой массой, которая зависит от разницы в длине струны. Это также истинно и для самого отвеса, различные части которого имеют различное расстояние от точки закрепления. В идеальном варианте маятник должен состоять из массивного отвеса с нулевым объемом, приложенным невесомой струной к центру закрепления. Такое устройство называется «идеальным или простым маятником» и, естественно, в реальном мире не существует. Однако, используя тяжелый отвес и легкую струну, можно сделать реальный маятник, который по своим свойствам будет приближен к идеальному маятнику. (У нас это называется «математическим» и «физическим» маятниками соответственно.) (Примеч. пер.) . Однако отвес не двигается точно вниз, он перемещается по дуге. Это перемещение складывается из воображаемых «скатываний» по наклонной плоскости, которая изменяет свой угол наклона в каждой из точек окружности.

Эта ситуация подобна той, с которой мы столкнулись, когда рассматривали наклонные плоскости. Вообразите отвес маятника в некоторой точке его движения, когда поддерживающая его струна составляет с вертикальной линией угол, равный θ. В этой точке отвес как будто скатывается по наклонной плоскости, составленной по тангенсу к дуге колебания в этой точке. Мы могли бы изобразить такую наклонную плоскость, как часть прямоугольного треугольника. Наклонная плоскость имела бы длину L и высоту H от горизонтальной линии. Угол, который наклонная плоскость создает с горизонтальной линией, как это можно видеть из обычной геометрии, равен углу сдвига, то есть также равен θ.

Как мы узнали, максимальная сила тяготения должна быть умножена на отношение H к L, так что сила упругости (F) будет равна mg(H/L). Отношение H к L представляет собой синус [33] Отношение одной стороны прямоугольного треугольника к другой изменяется в соответствии с величиной углов прямоугольного треугольника. Для некоторого заданного угла эти отношения установлены, и каждому дано собственное название. Так как такие отношения изучаются в той части математики, которая называется «тригонометрией» (это слово по-гречески означает «измерение треугольников»), то такие отношения называются «тригонометрическими функциями». Синус представляет собой пример такой тригонометрической функции. Пока мы не будем подробно вникать в сущность тригонометрических функций. Достаточно будет сказать, что мы можем легко получить таблицы, которые дадут нам значение синуса или любой другой тригонометрической функции, составленных для углов различной величины. угла θ и обозначается «sin θ». Поэтому мы можем выразить силу упругости как:

Таким образом, отношение силы упругости к смещению в случае качающегося маятника равно (объединяем уравнения 8.5 и 8.6):

Теперь возникает вопрос: является ли это отношение константой, поскольку если это так, то качающийся маятник должен рассматриваться как пример простых гармонических колебаний. Масса (m) отвеса и длина струны ( l ) не изменяются в процессе колебания маятника, значение g также постоянно для любой данной точки поверхности Земли, так что величина mg/l также может рассматриваться в качестве константы. Остается только определить, является ли величина (sin θ)/θ также константой. Если это так, то задача решена.

К сожалению, данное отношение не является константой. Как мы можем легко определить, синус 30° равен ½, в то время как синус 90° равен 1. Другими словами: в то время как синус угла только удвоился, сам угол стал больше в три раза. Это означает, что (sin θ)/θ не является константой, что сила упругости нити маятника не является величиной, прямо пропорциональной смешению, и что покачивание маятника не является примером простых гармонических колебаний.

Однако если отношение (sin θ)/θ и не является константой, то оно почти постоянно для маленьких углов (10° или меньше). Поэтому, если маятник качается вперед и назад по небольшой дуге, это движение практически является примером простых гармонических колебаний.

На практике для маленьких углов (sin θ)/θ — не просто константа, это отношение равно единице. По этой причине (не забываем, что мы имеем дело с маятниками, качающимися только по маленьким дугам) мы можем устранить выражение (sin θ)/θ в уравнении 8.7 и написать:

в котором символ ≈ означает «приблизительно равно».

(Вы можете задать вопрос: почему же мы желаем воспользоваться приблизительным равенством, ведь наука должна оперировать только точными отношениями? Ответ таков: иногда следует удовлетвориться аппроксимацией (т. е. максимально приближенным значением) — в этом случае мы можем обращаться с маятником как с примером простых гармонических колебаний и производить некоторые другие вычисления, весьма простые, пусть даже и не совсем точные.)

Например, как мы уже определили, период (t) простых гармонических колебаний объекта равен: 2πm/k (другая форма той же записи — см. уравнение 8.4).

Символ к представляет собой отношение силы упругости к смещению, для которого в случае маятника мы нашли значение в уравнении 8.8; там оно установлено приблизительно равным mg/l При объединении уравнений 8.4 и 8.8 (и при сохранении символа приблизительного равенства) мы можем заявить, что период умеренно качающегося маятника равен:

Как вы видите, период умеренно качающегося маятника не зависит от массы отвеса, а зависит (по крайней мере, в весьма хорошем приближении) от квадратного корня из длины струны, что, собственно, в далеком XVI столетии и определил Галилео экспериментальным путем.

Присутствие в уравнении величины g — ускорения, вызванного силой тяжести, — имеет очень важное значение. Если преобразовать уравнение 8.9 так, чтобы выразить значение g, то мы получим: