Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Проверка пропорциональности

Каким образом можно убедиться в наличии прямой пропорциональности между величинами при анализе результатов измерений? В примере с картофелем эта зависимость [173]видна сразу. Нам же необходимо располагать простыми способами проверка в более запутанных случаях. Вот эти способы:

Способ I. Измеренное значение одной величины делят на значение другой и проверяют постоянство частного. В нашем примере:

и т. д., результат деления во всех случаях равен 2 кг на человека.

Это надежный способ проверки прямой пропорциональности. Разумеется, его можно применять двояким образом: если мы разделим число людей на массу картофеля, то получим еще один постоянный результат: 1/ 4человека на 1 кг.

Способ II. Графики . Французский математик и философ Декарт, который жил вскоре после Галилея, изобрел метод построения графиков в координатах x и y . Сегодня мы видим в графиках нечто само собой разумеющееся и читаем их так же легко, как печатный текст. Может даже появиться опасность, что, скажем, позволив газетам представлять все наши статистические данные в форме графиков, мы воспитаем целое поколение верхоглядов, отвыкших вдумываться в слова и цифры статистики. В то же время несколько поколений назад многие считали графики запутанными и сложными. В наше время нужно научиться аккуратно и быстро строить графики и так же быстро читать их. Для этого лучше пользоваться некоторыми стандартными масштабами и приучиться соблюдать принятую точность построения, оценивая десятые доли деления.

Графики служат превосходным средством выражения зависимости между величинами. Совокупность результатов наблюдения двух величин (например, числа людей и количества картофеля) можно представить в виде совокупности точек, откладывая в удобном масштабе значения одной, измеряемой величины по вертикали, а другой — по горизонтали. Расположение точек показывает зависимость между двумя измеряемыми величинами. На фиг. 294 построен график А по приведенным выше данным о количестве людей и потребляемого ими картофеля. Сами по себе эти данные не дают нам права вставлять промежуточные точки, как если бы мы знали потребности любого возможного (даже дробного) числа людей. Однако мы можем предположить, что промежуточные точки ничуть не менее законны, чем те, по которым мы построили график.

Это позволит обеспечить продовольствием любое другое число людей. Чтобы найти (или продемонстрировать) соотношение между нашими данными, мы перейдем, забегая вперед, к простейшему соотношению между двумя величинами — к прямой связи или прямой пропорциональности — и будем от нее отталкиваться. Предположим, известно, что масса картофеля Р находится в прямой связи с числом людей N , и мы хотим предсказать вид зависимости Р от N . Мы знаем, что отношение P / N постоянно. Для любой точки на графике P / N характеризует наклон линии, соединяющей данную точку с началом координат.

Поэтому проведенные из начала координат до каждой точки прямые должны иметь одинаковый наклон и должны слиться в одну. Таким образом, все точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Если же все точки, определяющие зависимость Р от N , лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, то мы можем сказать, что отношение P / N постоянно.

График в этом случае представляет собой прямую, проходящую через начало координат, и показывает, что масса картофеля возрастает в прямой пропорции к числу едоков.

Линейная зависимость

Графики В и С на фиг. 295 обнаруживают «линейную зависимость» между величинами x и y .

На графике В все нанесенные точки х 1, у 1и т. д. лежат на прямой, проходящей через начало координат 0,0 . Заштрихованные треугольники подобны: отношение высоты к основанию y / x , определяющее наклон гипотенузы, у них одно и то же. На графике С точки х 5, у 5и т. д. лежат на прямой, которая не проходит через начало координат 0,0 , и мы не можем говорить о прямой связи или пропорциональности между у и х .

Гипотенузы заштрихованных треугольников имеют неодинаковый наклон, и нельзя утверждать, что все отношения y 5/ x 5, y 6/ x 6, y 7/ x 7 и т. д. одинаковы. Отыскивая соотношение между у и х , мы должны быть внимательны и иметь это в виду. Тем не менее очевидно, что между этими величинами существует какая-то зависимость, изображаемая графиком С . Если выбрать начало координат на самой прямой, то это вернуло бы нас к прежним простым рассуждениям. Это можно сделать, рассматривая приращения (или изменения) х и у по отношению к их значениям в выбранной точке на прямой. Так, на графике D (фиг. 296) мы провели новые оси координат (они показаны пунктиром). Если теперь вести отсчет от новой начальной точки 0 ', то можно сказать: (приращение величины у по отношению к ее значению в О ') изменяется прямо пропорционально (приращению х ), т. е. Δ у ~ Δ х . Математический символ Δ означает «приращение», или «изменение», такой-то величины. В случае графика D можно записать, что Δ у ~ Δ х , или сказать, что величина Δ у /Δ х , постоянна (для всех точек прямой).

Мы можем поступить и по-другому, как это сделано на примере графика Е (фиг. 297).

Можно переходить от точки к точке, каждый раз фиксируя при этом изменения у и х . Тогда какие бы точки на прямей мы ни выбрали, можно сказать, что Δ у ~ Δ х или что Δ у /Δ х постоянно, ибо мы всегда получаем подобные треугольники. (Правда, в этом случае Δ у и Δ х имеют несколько иной смысл.) Для графиков С и D отношение Δ у /Δ х дает наклон прямой точно так же, как отношение у / х определяет наклон прямой графика А . Величина наклона представляет собой ту постоянную, которая фигурирует в формуле прямой пропорциональности.

Обычно поступают следующим образом. Прежде всего результат наблюдений изображают графически точками на плоскости. Затем, отыскивая простую зависимость между интересующими нас величинами, проводят прямую — она как раз изображает такую зависимость — и проверяют, насколько хорошо точки укладываются на эту прямую. Стараются провести «наилучшую» прямую, которая проходила бы «как можно ближе к возможно большему числу точек». (Это указание относительно «наилучшей» прямой, несмотря на внешне безупречную формулировку, не выдерживает строгого логического анализа, и все же смысл указания ясен — примите его как некий неписаный закон.) Желая проверить, существует ли прямая зависимость (прямая пропорциональность) между наносимыми значениями у и х ( у ~ х ), прямую пытаются провести через начало координат. Если такая прямая существенно отклоняется от точек, то следует взять другую прямую, не проходящую через начало координат, и проверить, что Δ у ~ Δ х . В любом случае «наилучшая прямая» — это, так сказать, «пробная» прямая. Она не представляет собой ни формулировку правильного ответа, ни попытку увязать друг с другом нанесенные точки с учетом экспериментальных ошибок. Прямая является лишь графическим выражением простой зависимости, которую мы рассчитываем обнаружить. Проводя эту прямую наряду с нашими точками, мы хотим сопоставить искомую зависимость с реальными фактами, ибо точки выражают фактические результаты наблюдений.