Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Приближенная оценка и приемы быстрого счета

Чтобы произвести грубую оценку, имеет смысл в силу самого ее существа пользоваться лишь приближенными вычислениями . Для ускорения процесса вычислений исходные данные округляют.

Способ округления всех чисел до ближайшей степени числа 10 может оказаться слишком грубым. При таком способе вместо 8 нужно взять 10, вместо 67 взять 100, а вместо 1453 взять 1000. В тех случаях, когда числа близки к 10 или какой-нибудь степени 10, этого достаточно. Так, вместо любого из чисел 8, 9, 10, 11 или 12 следует написать ровно 10, а вместо числа 1193 написать 1000. Округление 73 до 100 представляется слишком грубым; если же округлить 73 до 70, то получается много малых чисел, вроде 7, которые приходится умножать и делить, а это все же неудобно — нужен более смелый оценочный расчет. Поэтому, производя приближенную оценку, необходимо при округлении чисел пользоваться следующими двумя правилами.

Правило I. Если число близко к числу 10 в соответствующей степени, то его округляют до этой степени 10.

Правило II. Если число существенно отличается от числа 10 в соответствующей степени, то его округляют до ближайшей степени 2 или до произведения числа 2 в некоторой степени на число 10 в соответствующей степени. В соответствии с этим правилом вместо числа 7 берут 2 3, вместо 4200 — 2 2х10 3, вместо 67 берут 2 3х10 1или еще лучше 2 6(=64) вместо 3–2 2(=4), или еще лучше 2 5/10(= 32/10).

В некоторых случаях есть возможность выбора: например, 8 можно записать в виде 2 3или округлить до 10. Число 27,3 можно округлить до произведения 2 на 10 или до произведения 2 2х10 (на самом деле число 27,3 лежит примерно посредине) или еще лучше до 2 5. Умелый вычислитель округлит 27,3 до числа 25, которое равно 100/4, или 10 2/2 2. Еще более искусный вычислитель, которому нужно возвести множитель 27,3 в квадрат, округлит его один раз в сторону увеличения до 2 2х10, а второй раз в сторону уменьшения до 2х10. Однако такой прием не дает экономии времени, если только он не будет прочно усвоен.

Одновременное применение правил I и II, кажущееся на первый взгляд странным, дает надежные приблизительные ответы. Применение этих правил приводит к результату, содержащему числа 10 и 2 в соответствующих степенях: полученный результат может быть затем превращен в простой окончательный ответ. Советуем вам запомнить степени числа 2, приведенные здесь в таблице.

Обратите внимание, что 2 10~= 1000, т. е. 10 3. Это дает удобный способ избавляться от огромных степеней числа 2 в конечном результате. Если представить все числа в стандартной форме записи, то первую цифру числа, лежащего между единицей и десятью, можно округлить до 1, 2, 4, 8 или 10; остальная часть представляет собой степень числа 10. Это очень грубое приближение. Для лучшего приближения берут первые две цифры и округление производят до одного из следующих чисел в соответствии с правилами I или II:

10 16 20 32 40 64 80 100.

Пример:

( Примечание. Честности ради мы округлили все множители в числителе, а также в знаменателе в сторону увеличения .)

Это неплохая оценка. Расчет с использованием более сложных приемов приближенных вычислений дал бы результат, более близкий к точному значению 330 000.

Приближенные ответы и достоверное знание

Иногда бывает достаточно получить результаты с точностью не хуже 1 %. Примерами могут служить измерения удельных теплоемкостей, необходимых для проектирования приборов; измерения межатомных расстояний в кристаллах. с помощью рентгеновских лучей для определения химического строения; измерение периода полураспада радиоактивного элемента, которое производят, чтобы опознать этот элемент; измерение периода обращения спутника Земли с целью определить среднее удаление его от Земли.

Во многих случаях точность измерения величин должна быть не хуже 0,1 %. Такое требование может возникнуть при выборе объяснений того или иного явления. В некоторых случаях для выяснения какого-нибудь существенного вопроса приходится определять измеряемые величины с точностью до одной миллионной или даже одной миллиардной. Например, чтобы надежно предсказать выделяющуюся ядерную энергию, исходя из малых разностей атомных масс, сами массы нужно определить (масс-спектрографическим путем) с колоссальной точностью. Для решения проблем, возникающах на современном этапе изучения строения атома, необходимо определять длины световых волн с точностью до одной миллионной. А измерения гравитационного поля, чтобы можно было использовать их для дальнейшей проверки общей теории относительности, должны выполняться с точностью до одной миллиардной.

Но на ряд важных вопросов можно получить ответ, проделав весьма приближенные измерения. Например, мы вполне можем примириться с 20 %-ной погрешностью при определении химической валентности (которая должна быть малым целым числом), температуры термоядерной реакции или возраста Вселенной.

Добиваться большой точности — не всегда означает поступать разумно. Увеличение точности не самоцель. Следует прилагать большие усилия в этом направлении, если отсюда можно получить важные преимущества. Правда, иногда ученый стремится к повышению точности просто в силу чувства долга или находит удовольствие в том, чтобы сделать прибор как можно лучше.

Повышенная точность прибора сможет быть использована только в будущем. Проводя измерение, ученый приводит его точность согласно своей оценке. Он не ограничивается сообщением о том, что он измерил g и получил значение g = 9,8 м/сек 2, а добавляет; «С ошибкой ±0,1 м/сек 2. Тех, кто желает воспользоваться полученным результатом, ошибка часто интересует в такой же степени, как сам результат. Без указания ошибки ±0,1 результат измерения едва ли можно считать надежной информацией, которой может еще кто-то воспользоваться. Чтобы оценить ошибку, необходим большой навык: нужно принимать во внимание разброс результатов измерений, исключать влияние известных источников ошибок, определить скрытые систематические ошибки; не последнее значение имеет разумный и трезвый подход в целом, который появляется у экспериментатора, досконально знающего свою аппаратуру. (Обратите внимание, насколько у вас самих повышаются навыки экспериментатора после того, как вы поработаете некоторое время с каким-нибудь прибором в лаборатории, как появляется растущее чувство уверенности в результатах ваших измерений.)