Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

( v+ v 0)( v— v 0) = 2 s/ t( at )

Таким образом, ( v 2— v 2 0) = 2 as , что приводит к нужной нам форме записи.

Теперь, располагая изложенным методом, к которому мы пришли в результате анализа, опустим детали наших изысканий и начнем снова.

Чтобы вывести соотношение v 2 = v 2 0 + 2 as изящным методом, начнем с определения ускорения

a= ( v— v 0)/ t

и с формулы, выражающей пройденный путь через среднюю скорость s = 1/2( v + v 0) t , и просто перемножим оба эти уравнения. Мы получим соотношение a ∙ s = 1/2( v 2— v 2 0), которое приводит к выражению

v 2 = v 2 0 + 2 as

Вот четыре соотношения между величинами v, v 0, a, s и t :

v = v 0 + at, s= 1/2( v+ v 0) t, s= v 0 t + (1/2) at 2, v 2 = v 2 0 + 2 as

Эти соотношения позволяют быстро вычислить значение любой входящей в них величины, если известны значения трех других величин.

Алгебра позволяет вычислить результирующий путь

Числовым значениям необходимо придавать подходящие знаки + и —. Например, если начальная скорость движущегося тела равна 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение составляет 1 м/сек/сек и направлено тоже на восток, то мы можем записать v 0= +3 и а = +1. Если же v 0= 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение в противоположном направлении равно 1 м/сек/сек к западу, то одна из этих величин должна записываться со знаком минус . Если мы говорим, что v 0 = +3, то мы должны записать а = —1, используя знак плюс для скорости, ускорения и пройденного пути в направлении на восток, а знак минус для перечисленных величин, направленных на запад. Тогда s будет равно результирующему расстоянию, пройденному за время t , а не арифметической сумме перемещений в западном и восточном направлениях. Это происходит потому, что при вычислении каждого отрезка пути мы приписываем знак плюс перемещениям в направлении на восток, а знак минус перемещениям на запад, и когда мы складываем эти отрезки пути со знаками + и —, стремясь найти s , то в соответствии с правилами алгебры получим результирующую разность перемещений. При v 0= +3 и а = —1 движение будет замедленным: тело движется все медленнее и медленнее вперед в течение 3 сек, останавливается, а затем движется все быстрее и быстрее в обратном направлении. Через 5 сек траектория движения будет такой, как показано на фиг. 13: тело переместится на 4,5 м вперед, затем на 2 м назад, и результирующее перемещение будет равно 2,5 м.

Фиг. 13. Результирующее пройденное расстояние s.

Алгебра дает

Таким образом, s всегда означает результирующее расстояние, пройденное от старта до финиша.

Приведенные выше соотношения — это лишь инструменты, а не разделы науки, имеющие жизненно важное значение. Эти соотношения абсолютно верны для движения с постоянным ускорением и отнюдь не достоверны для других движений. Только эксперимент может сказать нам, в каких случаях они применимы к реальным явлениям окружающего мира.

Задача 6. Доказательство без математического анализа

Галилей не имел возможности воспользоваться математическим анализом, он предпочитал геометрию и рассматривал равномерно ускоренное движение следующим образом. Представим себе график скорости движущегося тела, откладываемый по вертикали в зависимости от времени, откладываемого по горизонтали. Если, тело движется с постоянным ускорением, его скорость должна возрастать с течением времени равномерно. График скорости должен представлять собой прямую линию. Она не обязательно должна проходить через начало координат, она может идти от начальной скорости v 0при t = 0, достигая некоторого значения v в момент времени t .

Посмотрим теперь, что произойдет за некоторый очень короткий промежуток времени Δt , когда скорость равна, скажем, v 1. (Разумеется, v все время возрастает, но мы можем в качестве v 1взять среднее за короткий промежуток времени Δt .) Тогда тело проходит за этот промежуток времени расстояние [( v 1)∙( Δt )]. Но на графике величина [( v 1)∙( Δt )]— это произведение [(высота)∙(ширина)] маленькой вертикальной полоски с основанием Δt , доходящей до прямой, которая представляет собой наш график. На фиг. 14, а площадь этой вертикальной полоски заштрихована.

Следовательно, полное расстояние, пройденное телом, определяется полной площадью всех таких вертикальных полосок, т. е. заштрихованной площадью на фиг. 14, б .

1) Если, как показано на фиг. 14, б , боковые стороны заштрихованной геометрической фигуры равны v 0и v , а основание — промежутку времени t , то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши геометрические соображения.)

2) Если боковые стороны равны v 0и v + at (что следует из определения ускорения), то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши рассуждения.)

3) Запишите ответы на первые два вопроса в виде выражений для s — расстояния, пройденного телом за время t .

4) Предположим теперь, что ускорение не постоянно, а, начиная с некоторого меньшего значения, возрастает до некоторого большего значения, так что скорость по-прежнему изменяется за время t от v 0до v , но не равномерно.

а) Начертите новый график для этого случая.

б) Будут ли для него применимы выражения, полученные в качестве ответа на вопросы 1 и 2?

в) Какое слабое место было в прежних рассуждениях в приложении I , основанных на алгебре, которое теперь отсутствует?

Фиг. 14. К задаче 6.

Задача 7. Доказательство с помощью математического анализа

В пределе скорость v представляет собой изменение расстояния в единицу времени ds / dt , а ускорение а — изменение скорости в единицу времени dv / dt , или d / dt ( ds / dt ), или d 2 s / dt 2. Покажите, что если а постоянно, то справедливо каждое из следующих утверждений:

1) интегрирование dv / dt = a приводит к выражению v = v 0+ at (где v 0— постоянная, значение v в момент времени t = 0);

2) интегрирование соотношения v = v 0+ at приводит к соотношению s = v 0 t + 1/ 2 at 2 ( Указание . Вспомните, что v = ds / dt );

3) интегрирование dv / dt = a приводит к соотношению v 2= v 2 0 + 2 as . ( Указание . Попробуйте умножить обе части этого соотношения на v .)