Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ = (НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ)/2

Мы говорим также, что

ПРОЙДЕННЫЙ ПУТЬ = СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ∙ВРЕМЯ,

или

s = v -/ t

Заметим, что мы пользуемся точкой в качестве знака умножения; сейчас так принято, и мы будем прибегать к этому знаку для перемножения таких единиц, скажем, как чел∙час; кроме того, мы поставили сверху черту над буквой v для обозначения « v среднее».

Терминология. Примем следующие обозначения:

1) Ускорение — а м/сек на секунду.

2) Скорость движущегося тела в момент пуска часов (т. е. при t = 0) равна v 0м/сек. Сокращенно записываем это в виде

Начальная скорость = v 0м/сек при t = 0.

3) Скорость движущегося тела по прошествии t сек равна v м/сек, или

Конечная скорость = v м/сек.

4) Путь, пройденный за время t сек, равен s м.

Как уже было сказано, это лишь расшифровка принятых буквенных обозначений. Мы можем дать более связную формулировку: движущееся тело, начав двигаться со скоростью v 0, проходит расстояние s за время t с ускорением а и достигает конечной скорости v .

Соотношения . Теперь заставим поработать алгебру и получим с ее помощью ряд соотношений:

(1) v= v 0+ at,

УСКОРЕНИЕ а= Δ v/Δ t

= [ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] (словарное определение),

= [КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ — НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ]/[ЗАТРАЧЕННОЕ ВРЕМЯ] (если ускорение постоянно),

= ( v — v 0)/ t

Последняя строка дает лишь среднее значение ускорения, только если ускорение непостоянно, как мы здесь предполагаем. Чтобы получить удобное выражение для конечной скорости v , нужно произвести перегруппировку величин по правилам алгебры. Исходя из равенства

a= ( v— v 0)/ t

которое мы считаем истинным, и умножая обе его части на t , мы приходим к выражению, в такой же степени справедливому:

a∙ t= v— v 0.

Прибавляя к обеим частям этого равенства v 0, получаем еще одно уравнение, равносильное первому:

v 0 + at= v— v 0+ v 0= v

или

v 0 + at= v

Поменяв местами обе части последнего равенства, получим

v= v 0 + at

Изменения, которым мы подвергли исходное равенство a = ( v — v 0)/ t , представляют собой лишь изменения, допускаемые правилами логики.

Полученный результат v = v 0 + at точно так же верен или неверен, как исходное равенство a = ( v — v 0)/ t . Мы видим в этом случае, что новая «формула» — это просто новый вариант прежнего отправного положения, поскольку она гласит:

КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ = НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + ПРИРАЩЕНИЕ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ∙ВРЕМЯ

Величина ПРИРАЩЕНИЯ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ должна равняться приращению скорости

Согласно этой формулировке,

КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ = НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ + ПРИРАЩЕНИЕ СКОРОСТИ = КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ

Читателям, знакомым с алгеброй, это рассмотрение должно показаться излишне длинным. Можно было бы просто написать

a= ( v— v 0)/ t , следовательно, at= v— v 0, или v= v 0+ at.

Если же в выводе формул вы видите некое таинство, то это рассмотрение следует прочесть внимательно. Неопытный читатель может, пожалуй, ухватиться за высказанные нами слова в защиту алгебры, но дело не в этом; нужно отвыкнуть от ошибочных представлений об «истинности» формул или о том, что в выводе формул есть нечто таинственное.

(2) s= 1/2 ( v+ v 0)∙ at

При экспериментальной проверке мы будем иметь дело с расстоянием, а не со скоростью. Чтобы выяснить, как соотношение между пройденным расстоянием и затраченным временем вытекает из нашего предположения о постоянном ускорении, нам надо знать расстояние при изменяющейся скорости . Руководствуясь здравым смыслом, мы приходим к предположению, что нужно пользоваться средней скоростью v -, получаемой сложением начальной и конечной скоростей и делением их суммы на 2. Таким образом,

СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ v -= ( v 0+ v )/2,

Мы пользуемся этой средней скоростью как неизменной величиной вместо реальной изменяющейся скорости и находим пройденное расстояние, умножая среднюю скорость на время . Таким образом,

РАССТОЯНИЕ s= v - t,

или

s= 1/2 ( v+ v 0)∙ at

В этом соотношении ускорение а не фигурирует. Тем не менее соотношение неверно, если ускорение непостоянно (см. задачу 6 ). Это выражение не простая перегруппировка прежнего выражения; оно содержит предположение относительно средней скорости. Это предположение (до сих пор оно было основано лишь на «здравом смысле») можно проверить с помощью математического анализа или изящного геометрического способа, предложенного еще Галилеем (см. задачу 6). Оба способа показывают, что при движении с постоянным ускорением такое употребление средней скорости правильно. Для других типов движения нужны какие-то иные способы усреднения, арифметическое среднее брать не годится [26] Например, если ускорение не постоянно, а быстро уменьшается до нуля от некоторого большого значения, то движущееся тело набирает скорость главным образом в самом начале своего перемещения. В этом случае средняя скорость больше ( v 0 + v )/2. . Таким образом, наше предположение верно для движения с постоянным ускорением; мы используем его в качестве примера лишь постольку, поскольку знаем, что оно верно. Так, элементарное изложение приспосабливается для получения правильных результатов. Хотя это иногда неизбежно, такой подход оставляет, к сожалению, впечатление, будто ученый лишь выдвигает правдоподобные гипотезы, он не дает представления о том, как на самом деле ученый-естествоиспытатель осторожно нащупывает путь, подвергая свои предположения честной проверке. Поэтому вам необходимо изучить задачу 6.

(3) s= v 0∙ t + (1/2)∙ at 2

Мы по-прежнему хотим выразить пройденное расстояние через время и ускорение , не пользуясь конечной скоростью . Мы получим это соотношение из выражений (1) и (2); с помощью одного из них мы найдем v и сможем поставить это полученное выражение вместо v в другом соотношении. Так,

s= 1/2 ( v 0+ v)∙ tили v= v 0+ at

следовательно,

s= 1/2 ( v 0+ v 0+ at)∙ t = 1/2 (2 v 0+ at)∙ t= (2 v 0∙ t)/2 + ( at∙ t)/2