Дэйв Голдберг - Вселенная в зеркале заднего вида. Был ли Бог правшой? Или скрытая симметрия, антивещество и бозон Хиггса

Итак, перед нами интересный вопрос: судя по всему, движение частиц, волн и света определяется решениями одних и тех же задач на минимизацию. Найди путь, по которому луч света попадет из точки А в точку В за минимальное время — и надо же, найдешь ту линию, которую он опишет в реальной жизни!

Задачи о брахистохроне и таутохроне показывают, что точно так же можно рассуждать и о движении частиц, обладающих массой. Похоже, минимизация времени в пути — это нечто глубинное и важное.

Ньютон и Бернулли потому-то (отчасти) и были гениями, что сумели решить эти задачи, не располагая никаким общим руководством к решению. В сущности, им пришлось угадывать и перебирать возможные решения, пока они не пришли к идее самого короткого времени.

Все изменилось в XVIII веке, когда Леонард Эйлер и его ученик Жозеф Луи Лагранж обнаружили общее правило, которое позволило им минимизировать по траектории любую величину — хоть время, хоть расстояние.

Не хотелось бы погрязнуть в математике, поэтому давайте вспомним знакомый пример: полет из Филадельфии в Пекин. Возможных путей из одной точки в другую буквально бесконечное множество, хотя большинство из них предполагает извивы и зигзаги. А мы хотим найти простое соотношение, связывающее путь, который нам нужен — то есть тот, который окажется короче всего — с реальностью, в которой нам надо двигаться по выгнутой поверхности Земли.

Эйлер и Лагранж описали способ вычислить кратчайший путь, и неудивительно, что их метод в значительной степени опирался на недавно разработанные Ньютоном методы математического анализа.

Все эти разговоры о минимизации времени хороши, когда мы обсуждаем лучи света, полеты самолетов и американские горки, однако, как выяснилось, все законы Ньютона можно вывести, исходя из тех же предпосылок.

В 1747 году Пьер-Луи Моро де Мопертюи открыл принцип, которому дал название «Принцип наименьшего действия» [56] Хотя лично я убежден, что это название он придумал, чтобы впоследствии студентам-физикам было чем оправдывать малоподвижный образ жизни в колледже. :

Это принцип наименьшего Действия, принцип столь мудрый и достойный высшего Существа и изначально свойственный всем природным явлениям: воплощение его мы наблюдаем не только при любых переменах, но и при всяком постоянстве, демонстрируемом Природою. При столкновении тел движение распределяется таким образом, чтобы количество Действия было по возможности наименьшим — при условии, что столкновение имеет место. При равновесии тела расположены таким образом, что если им предстоит претерпеть небольшое перемещение, количество Действия будет наименьшим.

Слово «Действие» — это очередной странный научный термин: вроде бы слово знакомое, но потом понимаешь, что его почему-то пишут все время с большой буквы (или, скажем, курсивом) и никогда не заменяют синонимом. Значит оно не то, что вы думаете. При ближайшем рассмотрении оказывается, что оно значит даже не то, что думал Мопертюи.

Чтобы понять, что такое действие, мне придется сначала сказать несколько слов об энергии. Речь об энергии заходила у нас уже неоднократно, и такое ощущение, что мы все время говорим о разном. И в самом деле, энергия бывает самых разных сортов, которые подпадают под несколько широких категорий.

Энергия покоя. Ядерный бензобак. Готова высвободиться в соотношении E = mc 2.

Кинетическая энергия. Именно то, о чем вы думаете, когда (и если) думаете об энергии, в том числе энергия выпущенной пули, локомотива и летающих криптонцев.

Потенциальная энергия. Энергия взаимодействия; когда вы взбираетесь по лестнице и пыхтите, то не потому, что находитесь в плохой форме, а потому, что увеличиваете свою потенциальную энергию.

Создавать и уничтожать энергию невозможно, зато ее можно конвертировать из одной формы в другую. Крошечная разница в энергии покоя между четырьмя атомами водорода и одним атомом гелия производит колоссальное количество излучения. Выпрыгните из самолета — и ваша гравитационная потенциальная энергия превратится в поистине огромную кинетическую.

Энергия — это средоточие всей физики, и в 1834 году Уильям Р. Гамильтон сумел найти достойное применение трудам Эйлера и Лагранжа. Подобно тому как Ферма показал, что свет хочет минимизировать время в пути, принцип Гамильтона — такое название он получил — требует, чтобы частицы двигались так, чтобы минимизировать Действие Мопертюи, а для этого нужно немного подправить определения.

В сущности, действие — это среднее по времени от величины под названием лагранжиан. Да, я понимаю, я опять подсунул вам научный термин [57] Который — несмотря на название — тоже открыл Гамильтон. — зато очень полезный. Возьмите совокупную энергию движения, отнимите совокупную энергию взаимодействия — и получите именно его:

Лагранжиан = кинетическая энергия — потенциальная энергия.

Запустите игрушечную ракету. Сначала у нее будет много-много кинетической энергии, а когда ракета достигнет максимальной высоты, это будет означать, что вся кинетическая энергия превратилась в потенциальную. По пути вниз потенциальная энергия превращается обратно в кинетическую.

Иначе говоря, средний лагранжиан, то есть действие, равен нулю. Хотя пример с ракетой уже проще некуда, из него можно извлечь важный урок: действие будет минимальным, если приблизительно половина энергии расходуется в движении, а половина вкладывается в потенциал. Такова и есть цель: минимизируй действие — и получишь траекторию, которую проделают реальные ракеты (а также звезды и атомы).

Волшебство принципа Гамильтона состоит в том, что если удастся вычислить лагранжиан для какой-то системы — например, для движения ракеты, — можно просто применить подход Эйлера и Лагранжа для минимизации действия, а потом получить траекторию ракеты. Иначе говоря, если знаешь, каково взаимодействие энергий в системе, а следовательно, и лагранжиан, значит, ты знаешь абсолютно все необходимое, чтобы предсказать эволюцию системы в будущем.

А в результате принцип Гамильтона позволяет перекинуть мостик от принципа минимизации к «выведению» законов Ньютона. Именно для этого он, в сущности, и придуман. Казалось бы, зачем идти таким извилистым путем, чтобы прийти к результату, который мы и так уже знаем? Я постоянно проделывал это во время занятий механиков на младших курсах, даже не понимая, почему мы делаем именно так, а не иначе.

Лагранжиан ракеты

Этому, разумеется, есть технические причины. Принцип Гамильтона позволяет решать сложные задачи со строгими ограничениями, что было бы невозможно, если бы ими попытался заниматься непосредственно Ньютон, однако для нас у этого принципа есть и другое, более важное достоинство. И к нему вели все наши разговоры начиная с принципа Ферма.