Игорь Мерзляков - Путешествие в квантовую механику

где Re (Q) и Im (Q) – вещественная и мнимая части функции Q.

С каждой новой итерацией по времени вместо выражения Q следует подставлять известное решение Q 1, тогда:

В процессе расчёта переход к уравнению (3.1) необходимо выполнять до тех пор, пока не будет достигнуто условие VΔt=T, здесь T – промежуток времени, определяющий эволюцию искомой функции Q, Δt – величина шага по времени, V – общее количество итераций.

В предыдущем подразделе мы рассмотрели методику, с помощью которой можно отыскать решение того или иного дифференциального уравнения. Разбирая частный случай данной задачи, необходимо потребовать, чтобы исследуемое дифференциальное уравнение было линейным. Если величины n x, n y, n z окажутся положительными, то справедливым будет следующее условие Q∈ R. Таким образом, тождество (3 *) возможно свести к виду:

Преобразуем выражение (3.1), тогда:

Соотношение (3.3), полученное для операции дифференцирования, можно свести к виду:

для всех чётных s. где p – индекс координаты.

Преобразовав выражение D, справедливым будет записать следующее тождество:

Уравнение (3`) можно представить в виде соотношения:

Коэффициенты Фурье, которые соответствуют следующей по времени итерации, легко можно выразить через коэффициенты Фурье, полученные для предыдущей итерации.

Уравнение Шрёдингера, составленное для постоянной потенциальной энергии, является линейным. Вместе с тем коэффициенты s, входящие в состав рассматриваемого дифференциального уравнения, будут чётными. Таким образом, существует возможность разрешить уравнение Шрёдингера, применяя методику, изложенную выше. Более того, если подставить в качестве решения функцию Q=ψ (t) ψ (x) ψ (y) ψ (z), тогда справедливым будет следующее выражение:

Частное решение уравнения Шрёдингера возможно представить в виде соотношения:

Общее решение является суммой частных по п x, n y, n z.

Под обозначением ψ * понимается комплексно сопряжённая волновая функция. Плотностью вероятности появления частицы в точке с координатами (x,y,z) называют соотношение ψψ *. Коэффициент C 1 можно определить исходя из тождества ограниченности вероятности:

Следовательно:

где n x, n y, n z – коэффициенты, определяющие дискретные значения полной энергии квантовой системы.

На практике нередко можно встретить ситуацию, когда вместо потенциальной энергии в уравнение Шрёдингера подставляется постоянный коэффициент (потенциал). Исходя из закона Кулона, составленного для энергий, возможно, например, определить условия существования неподвижных в пространстве молекулярных и кристаллических структур. Атомы химического соединения будут сохранять свою стабильность до тех пор, пока сумма энергий Σ oΣ j, j≠oU oj, полученная для всех кулоновских взаимодействий, не изменит своего значения. Тогда:

где r oj – расстояние между частицами под номерами o и j, q j, q o – заряды частиц, k – коэффициент пропорциональности.

Волновая функция ψ – комплекснозначная величина, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы, когда квантово-механические процессы протекают без декогеренции. Волновая функция физического смысла не имеет, но физический смысл приписывается плотности вероятности.

В следующем параграфе мы получим общее аналитическое решение уравнения Шрёдингера. Применяя последнее на практике, можно обобщить большинство явлений нерелятивистской квантовой механики, в том числе дать математическое обоснование редукции Фон Неймана (коллапсу волновой функции).

В данной главе будет проанализирован новый подход к решению дифференциальных уравнений. В качестве примера мы рассмотрим решение уравнения Шрёдингера, полученное в декартовой системе координат для одной частицы. Согласно положениям раздела 2, исследуемое уравнение можно записать в следующей форме:

здесь a=ħ 2/ (2M). Волновая функция ψ выражена семейством функций. Символом Δ обозначают сумму операторов ∂ 2/∂x 2+∂ 2/∂y 2+∂ 2/∂z 2…, знак ∂ tэквивалентен частной производной ∂/∂t. Уравнение Шрёдингера, полученное для одномерного случая, возможно преобразовать к виду:

Осуществляя поиск аналитического решения уравнения Шрёдингера, необходимо разложить в ряд Фурье величину ψ, а также выражения F (x) и U (x) F (x), следовательно:

здесь F (x) – произвольно заданная дифференцируемая функция, F (x) ∈ C; -R, R – координаты граничных условий.

Выполним следующие преобразования: