Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Рис. 6.13.Анализ эксперимента с двумя щелями в терминах штопорообразного представления импульсных состояний фотона

Большинству читателей приходилось слышать о принципе неопределенности Гейзенберга . Согласно этому принципу невозможно одновременно точно измерить (т. е. увеличить до классического уровня) положение и импульс частицы. Хуже того, существует абсолютный предел произведения погрешностей, с которыми могут быть измерены положение и импульс частицы, например, ∆ x и ∆ р , определяемый неравенством

∆ x ∆ р ≥ ħ .

Эта формула говорит нам, что чем точнее измерено положение х , тем менее точно может быть определен импульс р , и наоборот. Если бы положение было измерено с бесконечной точностью, то импульс стал бы совершенно неопределенным; с другой стороны, если импульс измерен точно, то положение частицы становится полностью неопределенным. Чтобы получить некоторое представление о величине предела, установленного неравенством Гейзенберга, предположим, что положение электрона измерено с погрешностью до нанометра (10 -9м), тогда его импульс стал бы настолько неопределенным, что уже через секунду после измерения бесполезно было бы искать электрон на расстоянии меньше 100 км от того места, где он находился в момент измерения!

Из описаний некоторых измерительных процессов создается впечатление, что это связано с некоторой неточностью, «встроенной» в сам процесс измерения. Согласно этой точке зрения, попытка локализовать электрон в вышерассмотренном эксперименте неизбежно сообщит ему случайный «толчок» такой интенсивности, что электрон, весьма возможно, улетит прочь с огромной скоростью, величина которой оговорена принципом неопределенности Гейзенберга. Из других же описаний мы узнаем, что неопределенность — свойство самой частицы, а ее движению присуща неизбежная случайность, которая означает, что поведение частицы непредсказуемо непосредственно на квантовом уровне. Есть и такие точки зрения, согласно которым квантовая частица есть нечто непостижимое, к чему неприменимы сами понятия классического положения и классического импульса. Ни один из этих подходов мне не нравится. Первый может ввести в заблуждение, второй заведомо неправилен, а третий излишне пессимистичен.

О чем в действительности говорит нам описание в терминах волновых функций? Прежде всего напомним наше определение импульсного состояния. Это тот случай, когда импульс известен точно. Кривая ψ имеет вид винтовой линии, всюду остающейся на одном и том же расстоянии от своей оси. И поэтому в любой точке амплитуды различных положений имеют равные квадраты модулей. Таким образом, если производится измерение положения, то вероятность найти частицу в какой-нибудь одной точке такая же, как вероятность найти ее в любой другой точке. Действительно, положение частицы оказывается полностью неопределенным! А как обстоит дело с конфигурационным состоянием? В этом случае ψ -кривая представляет собой дельта-функцию Дирака. Частица точно локализована в том месте, где находится пик дельта-функции, во всех остальных точках амплитуды равны нулю. Импульсные амплитуды лучше всего определять, перейдя в импульсное пространство. В этом случае их ψ′ -кривые имеют вид винтовых линий, так что амплитуды различных импульсов все имеют равные квадраты модулей. Результат измерения импульса частицы становится теперь совершенно неопределенным!

Интересно рассмотреть промежуточный случай, когда координаты и импульсы отчасти ограничены, но только лишь в той степени, которая разрешена соотношением неопределенности Гейзенберга. Кривая ψ и соответствующая ей кривая ψ′ (являющиеся Фурье-преобразованиями друг друга) для такого случая изображены на рис. 6.14.

Рис. 6.14.Волновые пакеты, локализованные как в конфигурационном пространстве, так и в импульсном пространстве

Обратите внимание на то, что расстояние от каждой из кривых до оси существенно отлично от нуля лишь в весьма малой области. Вдали от этой области кривые очень плотно прижимаются к оси. Это означает, что квадраты модуля заметно отличны от нуля только в очень ограниченной области как в конфигурационном пространстве, так и в импульсном пространстве. В этом случае частица может быть локализована в пространстве, хотя соответствующий пик имеет некоторую ширину; аналогичным образом, импульс также достаточно хорошо определен, поэтому частица движется с достаточно хорошо определенной скоростью, а расплывание пика, характеризующего ее положение в пространстве, происходит не слишком быстро. Такое квантовое состояние принято называть волновым пакетом ; обычно волновой пакет считается лучшим квантовотеоретическим приближением к классической частице. Однако из-за «размазанности» в значении импульса (т. е. скорости) следует, что волновой пакет со временем расплывается. И чем более он локализован в начальный момент времени в пространстве, тем быстрее он расплывается.

В приведенном выше описании временно́й эволюции волнового пакета неявно содержится уравнение Шредингера , которое говорит нам о том, как именно эволюционирует во времени волновой пакет. Действительно, уравнение Шредингера гласит, что каждая компонента разложения ψ по импульсным состояниям («чистым тонам») двигается со скоростью, равной величине с 2 , деленной на скорость классической частицы, имеющей импульс данной компоненты. На самом деле, уравнение Шредингера математически сформулировано гораздо более лаконично. Мы обратимся к его точной записи несколько позднее. Оно по форме несколько напоминает уравнения Гамильтона или Максвелла (будучи тесно связано с обоими) и так же, как и эти уравнения, дает полностью детерминистскую эволюцию волновой функции, если волновая функция задана в какой-либо один момент времени (см. гл.6 «Уравнение Шредингера; уравнение Дирака»)!

Полагая, что ψ описывает мир в его «реальности», мы не обнаружим никакого индетерминизма, который, как предполагают некоторые, внутренне присущ квантовой теории, — не обнаружим, пока волновая функция ψ удовлетворяет детерминистской эволюции Шредингера. Будем называть это эволюционной U-процедурой. Однако всякий раз, когда мы «производим измерения», увеличивая квантовые эффекты до классического уровня, мы изменяем правила. Теперь вместо Uмы используем совершенно другую процедуру, которую я обозначу R. Она состоит в образовании квадратов модулей квантовых амплитуд для получения классических вероятностей! [145]Именно эта и только эта R-процедура привносит неопределенности и вероятности в квантовую теорию.