Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II

Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерыв­ным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импуль­сом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему определенную энергию Е, то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте x , такова:

< x |y> = С ( x ) ~e + ipx / h . (14.15)

Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответст­вующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями опреде­ленного импульса. В некоторых задачах состояния определен­ного импульса удобнее, чем состояния с определенным х. И лю­бая другая система базисных состояний также годится для опи­сания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний | х > .

Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции С (х), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния |y>. Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции С (х) идет речь, поставив снизу индекс, скажем С y( х ) . Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву С и пользуются символом y для опреде­ления функции

Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему и не пугаться, встретив его где-нибудь. Надо только помнить, что y теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14) y обозначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14.16) слева символ y применяется для определения математической функции от х, равной амплитуде, связываемой с каждой точкой х прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию y ( х )обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных.

Раз мы определили y ( х )как амплитуду того, что электрон в состоянии y обнаружится в точке х, то хотелось бы интер­претировать квадрат абсолютной величины y как вероятность обнаружить электрон в точке х. Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке беско­нечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятно­стей , которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть Вер. (х, D х ) обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале D х : возле точки х. Если мы в каждой физичес­кой ситуации будем пользоваться достаточно мелким масшта­бом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, и вероятность обнаружить электрон в произвольном конечном маленьком отрезке прямой D х ; будет пропорциональна D х. И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено. Можно считать, что амплитуда < x |y> представляет своего рода «плотность амплитуд» для всех базисных состояний | х > 1 в узком интервале х. Поскольку вероятность обнаружить

iэлектрон в узком интервале D х вблизи х должна быть пропор­циональна длине интервала D х , мы выберем такое определение < х |y> , чтобы соблюдалось следующее условие: Вер. (х, D х )=| | 2D х . Амплитуда < x |y> поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии y будет обнаружен в базисном состоя­нии х, а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды < x |y> дает плот­ность вероятности обнаружить электрон в любом узком интер­вале. Можно писать и так:

Вер. ( x , D х )=| y ( х )| 2D х . (14.17)

Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии |y>, а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в дру­гом состоянии |y>, которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конеч­ной системе дискретных состояний, мы пользовались уравне­нием (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать

А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала х будет эквивалентна умножению на D x , а сумма по всем значениям х превратится просто в интеграл. При наших измененных опре­делениях правильная формула будет такой:

Амплитуда < x |y> — это то, что мы теперь называем y ( х ) ; точно так же амплитуду < x |y> мы обозначим j( х ) . Вспоминая, что x > комплексно сопряжена с < x |j>, мы можем (14.18) переписать в виде

При наших новых определениях все формулы останутся преж­ними, если только всюду знак суммы заменить интегрирова­нием по х.

К тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы она сполна отражала все, что проис­ходит. Для одномерного движения электрона в действитель­ности недостаточно указать только базисные состояния | x >, потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз. Один из способов получить полную систему — взять две совокупности состояний по х : одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности.

§ 3. Состояния с определенным импульсом

Пусть у нас имеется электрон в состоянии |y>, описывае­мом амплитудой вероятности (х |y>=y ( х ) . Мы знаем, что y ( х )обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале dx близ точки х попросту равна