Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II

Если написать , то у состояния | I > мы имеем е i d =1, а у состояния | II > имеем е i d =-1.

Возьмем другой пример. Пусть у нас есть правополяризованный по кругу фотон, распространяющийся в направлении z. Если мы совершим операцию поворота вокруг оси z, то, как мы знаем, это просто приведет к умножению амплитуды на e i j , где j — угол поворота. Значит, в этом случае для операции поворота 8 просто равно углу поворота.

Далее, ясно, что если оказывается верным, что оператор Q^ в какой-то момент времени просто меняет фазу состояния (ска­жем, в момент t =0), то это будет верно всегда. Иначе говоря, если состояние |y 1> переходит за время t в состояние |y 2>:

и если симметрия физической картины такова, что

то верно и то, что

Это ясно, ведь

[Верхние равенства следуют из (15.13) и (15.10) для симметричной системы, нижние — из (15.14) и из того, что всякое число, скажем е i d , коммутирует с оператором.]

Итак, при некоторых симметриях то, что верно сначала, вер­но всегда. Но разве это не закон сохранения? Да! Он утверждает, что если вы взглянете на исходное состояние и, проделав где-то встороне небольшой подсчет, откроете, что операция, которая является операцией симметрии для системы, приводит только к умножению на некоторый фазовый множитель, то вы будете уверены, что это же свойство будет выполнено для конечного состояния — та же операция умножит и конечное состояние на тот же фазовый множитель. Это будет верно всегда, даже если вы ничего не знаете о том внутреннем механизме мира, который изменяет систему от начального состояния к конечному. Даже если вы не позаботились вглядеться в детали того, каким именно способом система переходит от одного состояния к другому, вы все равно имеете право говорить, что если вещь вначале находилась в состоянии с определенным характером симметрии и если гамильтониан этой вещи симметричен отно­сительно этой операции симметрии, тогда тот же характер симметрии останется у состояния на вечные времена. Это основа всех законов сохранения квантовой механики.

Рассмотрим частный пример. Возьмем опять оператор Р^. Сперва, правда, немножко изменим определение операции Р. Пусть Р^ будет не просто зеркальным отражением, потому что оно требует определения плоскости, в которой поставлено зер­кало. Существует особый вид отражения, который указания плоскости не требует. Переопределим операцию Р^ таким обра­зом: сперва вы отражаете в зеркале, находящемся в плоскости z, так что z переходит в - z, x остается х, а у остается у; затем вы поворачиваете систему на угол 180° вокруг оси z, так что х переходит в - х, а у в - у. Все вместе называется инверсией, обращением координат. Каждая точка проецируется через начало координат в диаметрально противоположное положение. Все координаты всего на свете меняют знак. Эту операцию мы, как и прежде, будем обозначать символом Р. Она изображена на фиг. 15.4 и немного удобнее, чем простая операция отражения, потому что не нужно указывать, в какой координатной плоско­сти происходит отражение, достаточно лишь указать точ­ку, являющуюся центром симметрии.

Фиг. 15.4. Операция инверсии Р^. То, что находится в точке A (х, у, z), переходит в точку

А' (-х, -у, -z).

Теперь предположим, что у sac есть состояние |y 0> , которое при операции инверсии переходит в е i d|y 0>, т. е.

Сделаем теперь новую инверсию. После двух инверсий мы вернемся к тому, с чего начали: ничего не изменится. Должно получиться

Но

Отсюда следует, что (е i d ) 2=1. Значит, если оператор инверсии является операцией симметрии для какого-то состояния, то У d могут быть только две возможности:

е i d =±1,

а это означает, что или

В классической физике, если состояние симметрично отно­сительно инверсии, то эта операция дает опять то же состояние. А в квантовой механике имеются две возможности: получается

либо то же состояние, либо минус то же состояние. Когда полу­чается то же состояние, Р^ |y 0> = |y 0> , мы говорим, что у со­стояния |y 0> четность положительна. Если знак меняется, так что Р^ |y 0>=-|y 0>, мы говорим, что четность состояния отрицательна. (Оператор инверсии Р^ известен также как опе­ратор четности.) Состояние | I > иона Н + 2обладает положитель­ной четностью; состояние же | II > — отрицательной [см. (15.12)]. Бывают, конечно, состояния, не симметричные отно­сительно операции Р^ ;это состояния без определенной четности. Например, в системе Н + 2состояние | I > имеет положительную четность, состояние | II > — отрицательную, а состояние | 1у определенной четности не имеет.

Когда мы говорим о том, что операция (например, инверсия) была совершена «над физической системой», то это можно пред­ставлять себе двояким образом. Можно считать, что все, что было в точке r, физически сдвинулось в обратную точку - r; или можно считать, что мы смотрим на ту же систему из новой системы отсчета х', y ', z ', связанной со старой формулами х'=-х, у' =-у и z '=- z . Точно так же, когда мы говорим о поворотах, то можно либо считать, что мы поворачиваем цели­ком всю физическую систему, либо что поворачиваем систему координат, в которой мы измеряем нашу систему, оставляя последнюю закрепленной в пространстве. Эти две точки зрения по существу равноценны. Они равноценны и при повороте, только поворот системы на угол q подобен повороту системы отсчета на отрицательный угол —q. В нашем курсе мы обычно смотрели, что получается, когда берется проекция на новую систему осей. То, что при этом получается, совпадает с тем, что получится, если мы оставим оси прежними и повернем тело на столько же назад. Когда вы это делаете, не забудьте поменять знаки углов.