Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II

§ 8. Амплитуды рассеяния и связанные состояния

Наш последний пример может быть использован, чтобы проиллюстрировать одну вещь, которая в наши дни очень полезна для физики частиц высокой энергии. Речь идет о связи между амплитудами рассеяния и связанными состояниями. Положим, мы открыли (при помощи опытов и теоретического анализа), как пионы рассеиваются на протонах. Затем откры­вается новая частица и кому-то хочется узнать, не является ли она просто комбинацией из пиона и протона, объединенных в одно связанное состояние (по аналогии с тем, как электрон, будучи связан с протоном, образует атом водорода)? Под связанным состоянием мы подразумеваем комбинацию, энергия которой ниже, чем у пары свободных частиц.

Существует общая теория, согласно которой, если ампли­туду рассеяния проэкстраполировать (или, на математическом языке, «аналитически продолжить») на энергии вне разрешен­ной зоны, то при такой энергии, при которой амплитуда стано­вится бесконечной, возникнет связанное состояние. Физическая причина этого такова. Связанное состояние — это когда имеют­ся только волны, стоящие близ некоторой точки; это состояние не порождается никакой начальной волной, оно просто сущест­вует само по себе. Относительная пропорция между так называе­мыми «рассеянными», или созданными, волнами и волнами, «посылаемыми внутрь», равна бесконечности. Эту идею мы мо­жем проверить на нашем примере. Выразим нашу рассеянную амплитуду (11.37) прямо через энергию Е рассеявшейся частицы (а не через k). Уравнение (11.30) можно переписать в виде

поэтому рассеянная амплитуда равна

Из вывода формулы следует, что применять ее можно только для реальных состояний — для тех, энергия которых попадает в энергетическую полосу, Е=Е 0 +2А. Но представьте, что мы об этом забыли и расширили нашу формулу на «нефизические» области энергии, где | Е-Е 0 |>2 A . Для этих нефизических областей можно написать

Тогда «амплитуда рассеяния» (что бы это выражение ни зна­чило) равна

Теперь задаем вопрос: существует ли такая энергия Е, при которой b становится бесконечным (т. е. при которой выраже­ние для b имеет «полюс»)? Да, существует, если только F отри­цательно; тогда знаменатель (11.45) обратится в нуль при

т. е. при

При знаке минус получается как раз то, что мы получили в (11.43) для энергии захваченного электрона.

А как быть со знаком плюс? Он приводит к энергии выше разрешенной полосы энергий. И действительно, существует другое связанное состояние, которое мы пропустили, решая (11.28). Найти энергию и амплитуды а n для этого связанного состояния вам предоставляется самим.

Одним из ключей (причем самых надежных) к разгадке экспе­риментальных наблюдений над новыми странными частицами служит это соотношение между законом рассеяния и связан­ными состояниями.

* Знак корня, который здесь следовало поставить, это технический вопрос, связанный с допустимыми знаками к в (11.39) и (11.40). Мы не будем здесь вдаваться в подробности.

* Только не старайтесь сделать пакет чересчур узким.

§ 1. Электроны и дырки в полупроводниках

§ 2. Примесные полупроводники

§ 3. Эффект Холла

§ 4. Переходы между полупроводни­ками

§ 5. Выпрямление на полупровод­никовом переходе

§ 6. Транзистор

§ 1. Электроны и дырки в полупроводниках

Одним из самых замечательных и волную­щих открытий последних лет явилось приме­нение физики твердого тела к технической разработке ряда электрических устройств, таких, как транзисторы. Изучение полупро­водников привело к открытию их полезных свойств и ко множеству практических приме­нений. В этой области все меняется так быстро, что рассказанное вам сегодня может через год оказаться уже неверным или, во всяком случае, неполным. И совершенно ясно, что, подробнее изучив такие вещества, мы со временем сумеем осуществить куда более удивительные вещи. Материал этой главы вам не понадобится для понимания следующих глав, но вам, вероятно, будет интересно убедиться, что по крайней мере кое-что из того, что вы изучили, как-то все же связано с практическим делом.

Полупроводников известно немало, но мы ограничимся теми, которые больше всего при­меняются сегодня в технике. К тому же они и изучены лучше других, так что разобравшись в них, мы до какой-то степени поймем и многие другие. Наиболее широко применяемые в на­стоящее время полупроводниковые вещества это кремний и германий. Эти элементы кристал­лизуются в решетке алмазного типа — в такой кубической структуре, в которой атомы обла­дают четверной (тетраэдральной) связью со своими ближайшими соседями. При очень низ­ких температурах (вблизи абсолютного нуля) они являются изоляторами, хотя при комнатной температуре они немного проводят электричество. Это не металлы; их называют полупроводниками.

Если каким-то образом в кристалл кремния или германия при низкой температуре мы введем добавочный электрон, то возникнет то, что описано в предыдущей главе. Такой электрон начнет блуждать по кристаллу, перепрыгивая с места, где стоит один атом, на место, где стоит другой. Мы рассмотрели только поведение атома в прямоугольной решетке, а для реаль­ной решетки кремния или германия уравнения были бы дру­гими. Но все существенное может стать ясным уже из резуль­татов для прямоугольной решетки.

Как мы видели в гл. И, у этих электронов энергии могут находиться только в определенной полосе значений, называемой зоной проводимости. В этой зоне энергия связана с волновым числом kамплитуды вероятности С [см. (11.24)1 формулой

Разные A — это амплитуды прыжков в направлениях х, у и z, а а, b, с — это постоянные решетки (интервалы между узлами) в этих направлениях.