Ричард Фейнман - 8. Квантовая механика I

Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все это работает. Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со спином 1/ 2через прибор Штерна — Герлаха, пропу­скающий только состояние (+z). Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии (+ x )? Ось + х — это все равно, что ось +z' системы, повернутой на 90° вокруг оси у. Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, конечно, можно применить и полное уравнение (4.35). По­скольку С + =1 и С - =0, то получится С' + =1/Ц2. Вероятности -это квадраты модулей этих амплитуд; таким образом, 50% шансов за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние ( +х ) . Если бы мы поинтересовались состоянием (- х ) , то амплитуда оказалась бы -1/Ц2, что опять дало бы вероятность 1/ 2, чего и следовало ожидать из симметрии про­странства. Итак, если частица находится в состоянии (+z), то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях (+ x ) и (- х ) . Но фазы противоположны.

Ось у тоже без претензий. Частица в состоянии (+ z ) имеет равные шансы быть в состоянии (+у) или (- у ) . Но теперь (согласно формуле для поворота на -90° вокруг оси х) амплитуды суть l/Ц2 и - i /Ц2. В этом случае разница в фа­зах двух амплитуд уже не 180°, как было для ( +х )и (- х ) , а 90°. В этом-то и проявляется различие между х и у.

Вот еще пример. Пусть нам известно, что частица со спином 1/ 2находится в состоянии y, поляризованном вверх относи­тельно оси А, определяемой углами q и j (фиг. 4.10).

Фиг. 4.10. Ось А, определяе­мая полярными углами q и j .

Мы хо­тим знать амплитуду +|y> того, что частица относительно оси z окажется в состоянии «вверх», и амплитуду -|y> того, что она окажется в состоянии «вниз» относительно той же оси z. Эти амплитуды мы можем найти, вообразив, что А есть ось z' системы, у которой ось х' направлена произвольно, ска­жем лежит в плоскости, образованной А и z. Тогда можно перевести систему А в систему х, у, z тремя поворотами. Во-первых, надо сделать поворот на -p/2 вокруг оси A , что пере­ведет ось x в линию В на рисунке. Затем повернуть на — 0 вокруг линии В (вокруг новой оси х системы А), чтобы ось А попала на ось z. И, наконец, повернуть вокруг оси z на угол (p/2-j).

Вспоминая, что вначале было только одно состояние (+) по отношению к А, получаем

Мы хотели бы напоследок подытожить результаты этой главы в форме, которая окажется полезной для нашей даль­нейшей работы. Во-первых, напомним, что наш основной ре­зультат (4.35) может быть записан в других обозначениях. Заметьте, что (4.35)— это то же самое, что и (4.4) Иначе го­воря, в (4.35) коэффициенты при С +=<+S|y> и C' -= <- S |y> суть как раз амплитуды < jT | iS >в (4.4), амплитуды того, что частица в состоянии i по отношению к S окажется в состоя­нии j по отношению к Т (когда ориентация Т по отношению к S дается углами a, b и g) . Мы их также называли R TS ji в выра­жении (4.6). (Чего-чего, а обозначений у нас хватало!) Например, — это коэффициент при С + в формуле для С -, а именно i sin(a/2)exp[ i (b-g ) /2] . Поэтому сводку наших ре­зультатов мы можем дать в виде табл. 4.1.

Было бы удобно иметь эти амплитуды расписанными для некоторых особо важных случаев. Пусть R z (j) — поворот на угол j вокруг оси z. Так же можно обозначить и соответ­ствующую матрицу поворота (опуская молчаливо подразу­меваемые индексы i и j ). В том же смысле R x (j) и R y (j) будут обозначать повороты на угол j вокруг оси х и оси у,

В табл. 4.2 мы приводим матрицы — таблицы амплитуд < jT | iS > , которые проецируют амплитуды из системы S в систему Т, где Т получается из S указанным поворотом.

* Нетрудно показать, что систему х, у, z можно перевести в систему х', у', z' следующими тремя поворотами вокруг первоначальных осей: 1) повернуть на угол g вокруг первоначальной оси z; 2) повернуть на угол а вокруг первоначальной оси х; 3) повернуть на угол b вокруг первоначальной оси z.

* Второе решение меняет все знаки у а, b, с, d и отвечает повороту на -270°.

* Заметим, что если последовательность малых поворотов приведет в конце концов к первоначальной ориентации предмета, то всегда есть возможность, проследив всю историю, отличить поворот на 360° от по­ворота на 0° (но интересно, что для поворота на 720° это неверно).

* Конечно, подошло бы и m=- 1 / 2 . Однако из (4.17) ясно, что изме­нение знака просто переопределит понятие «спин вверх».

* Можно посмотреть на это и иначе. Мы просто производим преоб­разование к «стандартной форме», описанное в § 2, используя формулу (4.15).

* Эта глава — не что иное, как весьма абстракт­ное и длинное отступление от основной линии расска­за; в ней нет каких-либо новых идей, которые бы не появлялись иным путем в дальнейших главах. Поэ­тому можете спокойно пропустить ее, а позже, если заинтересуетесь, вернуться.

§ 1. Покоящиеся атомы; стацио­нарные состояния

§ 2.Равномерное дви­жение

§ 3.Потенциальная энергия; сохране­ние энергии

§ 4.Силы; классиче­ский предел

§ 5. «Прецессия» ча­стицы со спином 1/2

Повторить: гл. 17 (вып. 2) «Про­странство-время»; гл. 48 (вып. 4) «Биения»

§ 1. Покоящиеся атомы; стационарные состояния

Мы хотим теперь немного рассказать о том, как ведут себя амплитуды вероятности во вре­мени. Мы говорим «немного», потому что на самом деле поведение во времени с необхо­димостью включает в себя и поведение в про­странстве. Значит, пожелав описать поведение со всей корректностью и детальностью, мы немедленно очутимся в весьма сложном поло­жении. Перед нами возникает наша всегдаш­няя трудность — то ли изучать нечто строго логически, но абсолютно абстрактно, то ли не думать о строгости, а давать какое-то представ­ление об истинном положении вещей, откла­дывая более тщательное исследование на поз­же. Сейчас, говоря о зависимости амплитуд от энергии, мы намерены избрать второй спо­соб. Будет высказан ряд утверждений. При этом мы не будем стремиться к строгости, а просто расскажем вам о том, что было обна­ружено, чтобы вы смогли почувствовать, как ведут себя амплитуды во времени. По мере хода нашего изложения точность описания будет возрастать, так что, пожалуйста, не нервничайте, видя, как фокусник будет извле­кать откуда-то из воздуха разные вещи. Они и впрямь берутся из чего-то неосязаемого — из духа эксперимента и из воображения мно­гих людей. Но проходить все стадии историче­ского развития предмета — дело очень долгое, кое-что придется просто пропустить. Можно было бы погрузиться в абстракции и все строго выводить (но вы вряд ли бы это поняли) или пройти через множество экспериментов, под­тверждая ими каждое свое утверждение. Мы выберем что-то среднее.