Ричард Фейнман - 8. Квантовая механика I

Фиг. 4.5. Частица в состоянии (+х) ведет себя в опытах а и б по-разному.

Теперь представим, что произойдет, если Т и U вместе повер­нуть на 90°, как показано на фиг. 4.5, б. Прибор Т опять будет пропускать все, что в него поступает, так что частицы, входя­щие в U , будут в (+ x )-состоянии по отношению к S. Но U теперь анализирует состояние (+ y ) (по отношению к S), а это совсем не то, что раньше. (Из симметрии следует ожидать, что через него пройдет только половина частиц.)

Что же могло перемениться? Приборы Т и U по отношению друг к другу расположены одинаково. Могла ли измениться фи­зика просто из-за того, что Т и U иначе ориентированы? Нет, гласит наше первоначальное предположение. Значит, разли­чаться в двух случаях, показанных на фиг. 4.5, должны ампли­туды по отношению к Т. То же должно быть, следовательно, и на фиг. 4.4. Частица должна как-то уметь узнавать, что в Р 1она завернула за угол. Как же она может об этом поведать? Что ж, остается только одно: величины С' + и С' + в обоих случаях одинаковы, но могут — а на самом деле должны — обладать разными фазами. Мы приходим к заключению, что С' + и С + дол­жны быть связаны формулой

а С' - и С —формулой

где l, и m — вещественные числа, которые как-то должны быть связаны с углом между S и Т.

В данный момент единственное, что мы можем сказать про l и m,— это то, что они не могут быть равны друг другу (кроме показанного на фиг. 4.5, а особого случая, когда Т и S ориен­тированы одинаково). Мы видели, что изменение всех амплитуд на одну и ту же фазу ни к каким физическим следствиям не при­водит. По той же причине всегда можно добавить к l и m любое постоянное число — это тоже ничего не изменит. Значит, нам представляется возможность выбрать lи m равными плюс и минус одному и тому же числу. Всегда можно взять

Тогда

Итак, мы договоримся считать m=-l и придем к общему правилу, что поворот прибора, относительно которого ведется отсчет, вокруг оси z на какой-то угол приводит к преобразова­нию

Абсолютные значения одинаковы, а фазы различны. Эти-то фазовые множители и отвечают за различные результаты двух опытов, показанных на фиг. 4.5.

Теперь надо узнать закон, связывающий X с углом между S и Т. Для одного случая ответ известен. Если угол — нуль, то и l — нуль. Теперь предположим, что фазовый сдвиг l, есть непрерывная функция угла j между S и Т (см. фиг. 4.4) при j, стремящемся к нулю. По-видимому, это единственное разум­ное допущение. Иными словами, если свернуть Т с прямой линии S на малый угол e, то и l тоже будет малым числом, ска­жем m e, где m — некоторый коэффициент. Мы пишем те, по­тому что можем доказать, что l обязано быть пропорционально e. Если бы мы поставили за T новый прибор Т, тоже образую­щий с Т угол e, а с S тем самым образующий угол 2e, то по отно­шению к Т мы бы имели

а по отношению к T'

Но мы знаем, что, должны были бы получить тот же результат если бы сразу за S поставили Т' !Значит, когда угол удваивает­ся, то удваивается и фаза. Эти аргументы мы можем, естествен­но, обобщить и построить любой поворот из последовательных бесконечно малых поворотов. Мы заключаем, что К пропор­ционально j для любого угла j. Поэтому всегда можно писать l=mj.

Общий полученный нами результат состоит, следовательно, в том, что для Т, повернутого вокруг оси z относительно S на угол j,

Для угла j и для всех поворотов, которые встретятся нам в будущем, мы условимся считать, что положительным поворо­том будет поворот правого винта, который ввинчивается в по­ложительном направлении z.

Теперь остается узнать, каким должно быть m. Попробуем сперва следующее рассуждение: пусть Т повернулся на 360°; ясно, что тогда он опять очутится под нулем градусов, и мы должны будем иметь С' + = С + и С' -= С - , или, что то же самое, e im 2 p = 1. Мы получаем m =1. Это рассуждение не годится!

Чтобы убедиться в этом, допустим, что Т повернут на 180°. Если бы т было равно единице, мы получили бы

Но это просто опять получилось первоначальное состояние. Обе амплитуды по­просту умножены на -1; это возвращает нас к исходной физиче­ской системе. (Опять случай всеобщей перемены фаз.) Это озна­чает, что если угол между Т и S на фиг. 4.5, б увеличивается на 180°, то система (по отношению к Т) оказывается неотличимой от случая 0° и частицы должны опять проходить через состояние (+) прибора U . Но при 180° состояние (+) прибора U — это состояние (- х) начального прибора S. Так что состояние (+ x ) станет состоянием ( -х ) . Но мы-то ведь ничего не делали для изменения начального состояния; ответ поэтому ошибочен. Не может быть, чтобы т =1.

Нет, все должно быть иначе: надо, чтобы только поворот на 360° (и ни на какие меньшие углы) воспроизводил то же самое физическое состояние. Это случится при m = 1/ 2. Тогда и только тогда первым углом, воспроизводящим то же самое физическое состояние, будет угол φ=360°. При этом будет

Очень курьезно вдруг обнаружить, что поворот прибора на 360° приводит к новым амплитудам. Но на самом деле они не новы, потому что одновременная перемена знака ни к какой новой физике не приводит. Если кто-нибудь задумает переме­нить все знаки у всех амплитуд, подумав, что он повернулся на 360°, то это его дело — физику он получит ту же, прежнюю. Итак, наш окончательный ответ таков: если мы знаем амплиту­ды С + и С - для частиц со спином 1/ 2по отношению к системе отсчета S и если затем мы используем базисную систему, свя­занную с Т (Т получается из S поворотом на j относительно оси z), то новые амплитуды выражаются через старые так: