Ричард Фейнман - 8. Квантовая механика I

Здесь имеется в виду то же, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить c в момент t+ D t есть

Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление. Умножая обе части (6.31) на < i |, получаем

Можно также разложить и |y(t)> на базисные состояния и написать

Понять это можно так. Если через C i (t)= < i| y|( t )> обозна­чить амплитуду пребывания в базисном состоянии i в момент t, то можно считать эту амплитуду (помните, это просто число !) меняющейся во времени. Каждое С i становится функцией времени t. Кроме того, у нас есть информация о том, как амп­литуды С i меняются во времени. Каждая амплитуда в момент (t+ D t) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент t, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим U -матрицу через U ij , считая, что

U ij = > .

Тогда (6.34) можно записать так:

Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.

Нам пока мало известно об U ij . Мы знаем только, что при D t, стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, U ij ®1 и U ij ®0 при i№j. Иными словами, U ij ® d ij при D t ®0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каж­дый из U ij обязан отличаться от d ij на величину, пропорцио­нальную D t; так что можно писать

Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэф­фициентов К ij выносят множитель

(- i/h) ; предпочитают писать

Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов H ij ( t ).Члены H ij — это как раз производные по t 2от коэффициентов U ij ( t 2 , t 1) , вычисляемые при t 2 =t 1 =t,

Подставляя в (6.35) этот вид U , получаем

Суммируя члены с d ij , получаем просто C i ( t ) , что можно пере­нести в другую сторону уравнения. После деления на D t мы распознаем в этом производную

или

Вы помните, что С i ( t ) — это амплитуда < i| y> обнаружить состояние y в одном из базисных состояний i (в момент t). Значит, уравнение (6.39) сообщает нам, как каждый из коэф­фициентов < i| y> меняется со временем. Но это все равно, что сказать, что (6.39) сообщает нам, как со временем меня­ется состояние y, раз мы описываем y через амплитуды < i |y>. Изменение y со временем описывается через матрицу Н ij , которая, конечно, должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу H ij , которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное опи­сание поведения системы во времени. Таким образом, (6.39)— это квантовомеханический закон для динамики мира.

(Нужно сказать, что мы всегда будем выбирать совокуп­ность базисных состояний, которые фиксированы и со временем не меняются. Иногда используют такие базисные состояния, которые сами меняются. Однако это все равно, что пользова­ться в механике вращающейся системой координат, а мы не хотим входить в подобные тонкости.)

§ 5. Гамилътонова матрица

Идея, стало быть, заключается в том, что для квантовомеханического описания мира нужно выбрать совокупность базисных состояний i и написать физические законы, задавая матрицу коэффициентов Н ij . Тогда у нас будет все, что нужно,— мы сможем отвечать на любой вопрос о том, что случится. Нам остается выучить правила, по которым находят Н в соответ­ствии с данной физической обстановкой: какое Н отвечает маг­нитному полю, какое электрическому и т. д. Это самая труд­ная часть дела. К примеру, для новых странных частиц мы со­вершенно не представляем, какие Н ij употреблять. Иными словами, никто не знает полного H ij для всего мира. (Частично трудность заключается в том, что едва ли можно надеяться на открытие Н ij , раз никому не известно, каковы базисные со­стояния!) Мы действительно владеем превосходными прибли­жениями для нерелятивистских явлений и некоторых других особых случаев. В частности, мы знаем вид Н ij , требуемый для движений электронов в атомах — для описания химии. Но мы не знаем полного, истинного Н для всей Вселенной.

Коэффициенты H ij называют гамильтоновой матрицей, или, короче, просто гамильтонианом. (Как получилось, что Гамильтон, работавший в 30-х годах прошлого века, дал свое имя квантовомеханической матрице,— история длинная.) Много лучше было бы называть ее энергетической матрицей по при чинам, которые станут ясны, когда мы поработаем с ней. Итак все сошлось на гамильтониане. Как узнать гамильтониан — вот в чем вопрос!

У гамильтониана есть одно свойство, которое выводится сразу же:

Н* ij =H ji . (6.40)

Это следует из того, что полная вероятность пребывания си­стемы хоть в каком-то состоянии не должна меняться. Если вначале у вас была частица (или любой объект, или весь мир), то с течением, времени она пропасть не может. Полная вероят­ность ее где-то найти равна