Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были дейст­вовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендику­лярную оси х, подобную плоскости s на фиг. 31.5, и интересуем­ся силами, действующими на маленькой площадке Dy/Dz, рас­положенной в этой плоскости.

Фиг. 31.5. Материал, находящийся слева от плоскости s на площади Dy/Dz, действует на материал, нахо­дящийся справа, с силой D F 1 .

Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой D F 1(фиг. 31.5, б). Есть, конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила —D F 1. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила D F 1про­порциональна площади Dy/Dz.

Вы уже знакомы с одним видом напряжений — статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умно­женному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущей­ся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна по­верхности: помимо давления (положительного или отрицатель­ного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если раз­рез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориента­цией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.

Определим тензор нап­ряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярный оси х, и разложите силу DF 1, действующую на разрезе, на ее компо­ненты: DF x 1, DF y 1, DF z 1(фиг. 31.6).

Фиг. 31.6. Сила DF 1, дейст­вующая на элементе площади DyDz, перпендикулярной оси х, разлагается на три компонен­ты: DF x 1, DF у 1 и D F z 1 .

Отношение этих сил к площади Dy/Dz мы назовем S xx , S yx и S zx . Например,

S yx = DF у 1 / DyDz

Первый индекс у относится к направлению компоненты силы, а второй х — к направлению нормали к плоскости. Если угод­но, площадь DyDz можно записать как D а х , имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси х, т. е.

S yx = DF у 1 / D а х

А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у. Пусть на маленькую площадку DxDz действует сила D F 2.

Разлагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы опре­деляем три компоненты на­пряжения S xy , S yy , S zy как силы, действующие на единичную площадь в этих трех направлениях.

Фиг. 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпенди­кулярной оси у, разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.

Наконец, проведем воображаемый раз­рез, перпендикулярный оси z, и определим три компоненты S xz , S yz и S zz . Таким образом, получается девять чисел:

Я хочу теперь показать, что этих девяти величин достаточ­но, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состоя­ние, и что S ij -— действительно тензор. Предположим, что мы хо­тим знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, ис­ходя из S ij ? Можно, и это делается следующим образом. Вооб­разите маленькую призму, одна грань N которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань N параллельна оси z, то получается картина, изобра­женная на фиг. 31.8.

Фиг. 31.8. Разложение на компо­ненты силы F n, действующей на грани N (с единичной нормалью n ) .

(Это, конечно, частный случай, но он до­статочно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напря­жения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее пол­ная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на гра­ни, параллельные осям координат, известны нам непосред­ственно из тензора S ij . А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань N, так что эту силу можно выра­зить через S ij .

Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы бу­дут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорцио­нальны Dx,Dy, Dz, тогда как поверхностные силы пропорцио­нальны DxDy, DyDz и т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.

А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если Dz достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси z) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть. На основание призмы действует x-компонента силы, равная

DF x 2=S xyDxDz,

а x-компонента силы, действующей на вертикальную прямо­угольную грань, равна

D F x 1 =S х x D z.

Сумма этих двух сил должна быть равна x-компоненте силы, действующей извне на грань N. Обозначим через n единич­ный вектор нормали к грани N, а через F n— действующую на нее силу, тогда получим

D F xn =S xx D y D z+S xy D x Dz.

Составляющая напряжения по оси х (S xn ), действующего в этой плоскости, равна силе DF xn , деленной на площадь, т. е. DzЦ(Dx 2+Dy 2), или