Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Мне бы хотелось написать выражение (34.16) несколько по-иному. Появившаяся у нас величина r 2представляет собой рас­стояние от оси, проходящей через атом и параллельной полю В, так что если поле В направлено по оси z, то оно равно x 2+y 2. Если мы рассмотрим сферически симметричные атомы (или усредним по атомам, естественные оси которых могут распола­гаться во всех направлениях), то среднее от z 2+y 2равно 2/ 3среднего квадрата истинного радиального расстояния от центра атома. Поэтому уравнение (34.16) обычно более удобно записы­вать в виде

Во всяком случае, мы нашли, что индуцированный атомный момент пропорционален магнитному полю В и противоположен ему по направлению. Это и есть диамагнетизм вещества. Именно этот магнитный эффект ответствен за малые силы, действующие на кусочек висмута в неоднородном магнитном поле.(Вы можете определить величину этой силы, воспользовавшись выражением для энергии наведенного момента в поле и результатами изме­рений изменения энергии при движении образца в область сильного поля или из нее.)

Но перед нами все еще стоит такая проблема: чему равен средний квадратичный радиус 2> ср? Классическая механика не может дать нам ответа. Мы должны вернуться назад и, во­оружившись квантовой механикой, начать все снова. Мы не можем знать, где именно находится электрон в атоме, а знаем лишь, что имеется вероятность его обнаружить в некотором месте. Если мы будем интерпретировать 2> сркак среднее значение квадрата расстояния от центра для данной вероят­ности распределения, то диамагнитный момент, даваемый квантовой механикой, определяется тем же самым выражением (34.17). Оно, разумеется, дает нам момент одного электрона. Полный же момент будет суммой по всем электронам в атоме. Удивительно, что и классические рассуждения и квантовая механика дают тот же ответ, хотя, как мы увидим дальше, «классические» рассуждения, которые приводят к (34.17), на самом деле несостоятельны в рамках самой классической ме­ханики.

Такой же диамагнитный эффект будет наблюдаться даже у атомов с постоянным магнитным моментом. При этом система тоже будет прецессировать в магнитном поле. Во время прецес­сии атома в целом он набирает небольшую дополнительную угловую скорость, а подобное медленное вращение приводит к маленькому току, который дает поправку к магнитному моменту. Это тот же диамагнитный эффект, но поданный по-другому. Однако на самом деле, когда мы говорим о парамагнетизме, нам не нужно заботиться об этой добавке. Если мы сначала подсчи­тали диамагнитный эффект, как это было сделано здесь, нас не должен беспокоить небольшой дополнительный ток, про­исходящий из-за прецессии. Он уже включен нами в диамаг­нитный член.

§ 5. Теорема Лармора

Теперь уже из наших результатов можно сделать кое-какие заключения. Прежде всего в классической теории момент m всегда пропорционален J, причем для каждого вида атомов со своей константой пропорциональности. В классической теории у электрона нет никакого спина и константа пропорционально­сти всегда равна - q e /2m, иначе говоря, мы должны в (34.6) положить g=1. Отношение m к J не зависело от внутреннего движения электронов. Таким образом, в соответствии с класси­ческой теорией все системы электронов должны были прецессировать с одной и той же угловой скоростью. (В квантовой механике это неверно.) Этот результат связан с одной теоремой классической механики, которую мне бы хотелось сейчас дока­зать. Предположим, что имеется группа электронов, которые удерживаются вместе притяжением к центральной точке, по­добно электронам, притягиваемым ядром. Эти электроны будут также взаимодействовать друг с другом, и движение их, вообще говоря, довольно сложно. Пусть вы нашли их движение в отсутствие магнитного поля и хотите знать, каково будет движение в слабом магнитном поле. Теорема утверждает, что движение в слабом магнитном поле всегда будет таким же, как и движение без поля с добавочным вращением относительно оси поля с угловой скоростью w L =q e B/2m. (Это то же самое, что и w pпри g=1.) Разумеется, возможных движений может быть много. Все дело в том, что каждому движению без магнитного поля соответствует движение в поле, которое состоит из пер­воначального движения плюс равномерное вращение. Это и есть теорема Лармора, а частота w Lназывается ларморовой частотой.

Мне бы хотелось показать вам, как можно доказать эту теорему, но детали доказательства я предоставлю вам самим.

Возьмем сначала электрон в центральном силовом поле. На него просто действует направленная к центру сила F(r). Если теперь включить однородное магнитное поле, то появится до­полнительная сила q vX В, так что полная сила будет равна

F(r)+q vXB. (34.18)

Посмотрим теперь на те же самые электроны из системы коор­динат, вращающейся с угловой скоростью w относительно оси, проходящей через центр силы и параллельной полю В. Она уже не будет инерциальной системой, а посему нам нужно доба­вить надлежащие псевдосилы: центробежные силы и силы Кориолиса, о которых мы говорили в гл. 19 (вып. 2). Там мы обна­ружили, что в системе отсчета, вращающейся с угловой ско­ростью w, действуют кажущиеся тангенциальные силы, пропор­циональные v r — радиальной компоненте скорости:

F t = -2mwv r . (34.19) Кроме того, там действует кажущаяся радиальная сила

F r =mw 2 r+2mwv t , (34.20)

где v t — тангенциальная компонента скорости, измеряемая во вращающейся системе отсчета. (Радиальная компонента v r одна и та же как для вращающихся, так и для инерциальных систем.)

Теперь для достаточно малых угловых скоростей (т. е. когда (wr< t ) первым (центробежным) слагаемым в уравнении (34.20) можно пренебречь по сравнению со вторым (кориолисовым). После этого уравнения (34.19) и (34.20) можно записать вместе как

F=-(2mwXv). (34.21)

Если же теперь скомбинировать вращение и магнитное поле, то мы должны к силе (34.18) добавить силу (34.21). Полная сила получится такой:

F(r)+q vX B+2m vX w. (34.22)

[В последнем слагаемом по сравнению с (34.21) мы переставили сомножители в векторном произведении и изменили знак.] Взглянув теперь на полученный результат, мы видим, что если