Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

таким же успехом записать в следующей форме:

(17.40)

Это просто алгебраическое преобразование. Эта величина долж­на быть всегда положительна при любых значениях I 1и I 2. В частности, она должна быть положительна, когда I 2вдруг примет особое значение:

(17.41)

Но при таком значении I 2первое слагаемое в (17.40) равно ну­лю. Если энергия положительна, то последнее слагаемое в (17.40) должно быть больше нуля. Мы получаем требование, что

Таким образом, мы доказали общее соотношение, что величина взаимной индукции m любых двух катушек обязательно меньше или равна геометрическому среднему двух коэффициен­тов самоиндукции (сам m может быть положителен или отри­цателен в зависимости от выбора знаков для токов I tи I 2):

(17.42)

Соотношение между m и коэффициентами самоиндукции обычно записывают в виде

(17.43)

Постоянную k называют коэффициентом связи. Если большая часть потока от одной катушки проходит через другую ка­тушку, то коэффициент связи близок к единице; мы говорим, что катушки «сильно связаны». Если катушки значительно удалены друг от друга или же все устроено так, что взаимное проникновение их потоков очень мало, коэффициент связи становится близок к нулю, а коэффициент взаимной индукции очень мал.

Для вычисления взаимной индукции двух катушек мы дали формулу (17.30), которая представляет собой двойной кон­турный интеграл по обеим цепям. Мы могли бы подумать, что та же формула применима и для вывода коэффициента самоин­дукции одной катушки, если оба контурных интегрирования проводить по одной и той же катушке. Однако это не так, пото­му что при интегрировании по двум катушкам знаменатель r 12под знаком интеграла стремится к нулю, когда два элемента длины находятся в одной точке. Коэффициент самоиндукции, получаемый из этой формулы, оказывается бесконечным. Про­исходит это потому, что формула наша — приближенная, и справедлива она только для поперечных сечений проводов в обеих цепях, малых по сравнению с расстоянием от одной цепи до другой. Ясно, что это приближение для отдельной катушки не годится. На самом деле оказывается, что индуктивность от­дельной катушки стремится логарифмически к бесконечности, когда диаметр ее проволоки становится все меньше и меньше.

Значит, мы должны поискать другой способ вычисления коэффициента самоиндукции одной катушки. При этом надо учесть распределение токов внутри проводника, потому что его размеры — важный параметр. Но мы не будем считать полную индуктивность, а сосчитаем лишь ту ее часть, которая связана с расположением проводников, и не будем учитывать часть, связанную с распределением токов. Пожалуй, самый простой способ найти такую индуктивность — это использовать магнит­ную энергию. Ранее, в гл. 15, § 3, мы нашли выражение для магнитной энергии распределения стационарных токов:

(17.44)

Если известно распределение плотности тока j, то можно вы­числить векторный потенциал А, а затем, оценив интеграл (17.44), получить энергию. Эта энергия равна магнитной энер­гии самоиндукции, l / 2 ж I 2 . Приравнивая их, получаем формулу для индуктивности:

(17.45)

Мы, конечно, ожидаем, что индуктивность есть число, зависящее только от геометрии цепи, а не от тока / в цепи. Формула (17.45) действительно приводит к такому результату, потому что ин­теграл в ней пропорционален квадрату тока — ток входит один раз от j и еще раз от векторного потенциала А. Интеграл, деленный на I 2, зависит от геометрии цепи, но не от тока I.

Выражению (17.44) для энергии распределения токов можно придать совсем другую форму, иногда более удобную для вы­числений. Кроме того, как мы увидим позже, именно эта форма важна, потому что она справедлива в более общем случае. В формуле (17.44) и А и j можно связать с В, поэтому можно надеяться, что энергия выразится через магнитное поле — точно так же, как нам удалось связать электростатическую энергию с электрическим полем. Начнем с подстановки e 0c 2СXВ вместо j. Заменить А мы не можем с той же легкостью, потому что нельзя обратить B=СXA, чтобы выразить А через В. Можно только

записать

(17.46)

Любопытно, что при некоторых ограничениях этот интеграл можно превратить в

(17.47)

Чтобы увидеть это, выпишем подробно типичный множитель. Предположим, что мы взяли множитель (СXB) zA z, входящий в интеграл (17.46). Выписывая полностью компоненты, полу­чаем

(имеются, конечно, еще два интеграла того же сорта). Проинте­грируем теперь первый множитель по х, интегрируя по частям,

Теперь предположим, что наша система (имея в виду источники и поля) — конечная, так что, когда мы уходим на большие рас­стояния, все поля стремятся к нулю. Тогда при интегрировании по всему пространству подстановка B y A z на пределах интеграла дает нуль. У нас остается только В (дА г /дх); это, очевидно, есть часть от B y ( СX A) y и, значит, от В·(СXA). Если вы вы­пишите остальные пять множителей, то увидите, что (17.47) на самом деле эквивалентно (17.46).

А теперь мы можем заменить (СXA) на В и получить

(17.48)

Мы выразили энергию в магнитостатическом случае только через магнитное поле. Выражение тесно связано с формулой, которую мы нашли для электростатической энергии: