Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

(21.34)

Потенциалы точечного заряда в этой форме были впервые получены Льенаром и Вихертом. Их так и называют: потенциалы Льенара — Вихерта.

Чтобы замкнуть круг и вернуться к формуле (21.1), теперь нужно только подсчитать Е и В из этих потенциалов (при помо­щи B=СXA и Е=-Сj- dA/dt). Теперь остается одна арифме­тика. Впрочем, арифметика эта довольно запутанна, так что мы не будем приводить здесь детали счета. Придется поверить мне на слово, что формула (21.1) эквивалентна выведенным нами потенциалам Льенара — Вихерта.

*Если у вас достаточно времени и вам не жаль бумаги, то попытай­тесь проделать это самостоятельно. Вот вам парочка советов: во-первых, не забывайте, что производные r' довольно запутанны, ведь они суть функции от t'! Во-вторых, не пытайтесь вывести формулу (21.1); лучше проделайте в ней все дифференцирования и затем сопоставьте то, что у вас получится, с выражением для Е, полученным из потенциалов (21.33) и (21.34).

§ 6. Потенциалы заряда, движущегося с постоянной скоростью; формула Лоренца

Применим теперь потенциалы Льенара — Вихерта к случаю заряда, движущегося по прямой с постоянной скоростью, и вычислим поле этого заряда. Позже мы повторим этот вывод, используя уже принцип относительности. Мы знаем величину потенциалов в той системе, в которой заряд покоится. Когда заряд движется, то все получается простым релятивистским преобразованием от одной системы к другой. Но теория отно­сительности ведет свое начало от теории электричества и магне­тизма. Формулы преобразований Лоренца [см. гл. 15 (вып. 2)]— это открытия, сделанные Лоренцем при исследовании уравне­ний электричества и магнетизма. И для того чтобы вы понимали, откуда все пошло, я хочу показать вам, что уравнения Максвелла действительно приводят к преобразованиям Лоренца. Я начну с вычисления потенциала равномерно движущегося заряда прямо из электродинамики, из уравнений Максвелла. Мы уже показали, что уравнения Максвелла приводят к потен­циалу, полученному в предыдущем параграфе. Стало быть, пользуясь этими потенциалами, мы используем тем самым тео­рию Максвелла.

Пусть имеется заряд, движущийся вдоль оси х со скоростью v (фиг. 21.8). Нас интересуют потенциалы в точке Р(х, у, z). Если (=0 — момент, в который заряд проходит через начало координат, то в момент t заряд окажется в точке x—vt, y=z=0. А нам нужно знать его положение с учетом запаздывания, т. е. положение в момент

(21.35)

где r' — расстояние от заряда до точки Р в этот запаздываю­щий момент. В это более раннее время t' заряд был в x=vt', так что

(21.36)

Чтобы найти r' или t', это уравнение надо сопоставить с (21.35). Исключим сперва r', решив (21.35) относительно r ' и подставив в (21.36). Возвысив затем обе части в квадрат,

т. е. квадратное уравнение относительно t' . Раскрыв скобки и расположив члены по степеням t', получим

Фиг. 21.8. Определение потенциала в точке Р заряда, движущегося равномерно вдоль оси х.

Отсюда найдем

Чтобы получить r', надо это t' подставить в

Теперь мы уже можем найти j из выражения (21.33), имеющего вид

(21.38)

(ввиду того, что v постоянно).

Составляющая v в направлении r' равна v(x-vt')/r', так что v·r' просто равно v(x-vt'), а весь знаменатель равен

Подставляя (1- v 2 /c 2 )t' из (21.37), получаем

Это уравнение становится более понятным, если переписать его в виде

Векторный потенциал А — это такое же выражение, но с до­бавочным множителем v/c 2:

В выражении (21.39) со всей ясностью предстает перед вами начало преобразований Лоренца. Если бы заряд находился в начале координат в своей собственной системе покоя, то его потенциал имел бы вид

А мы смотрим на него из движущейся системы координат, и нам кажется, что координаты следует преобразовать с помощью формул

Это обычное преобразование Лоренца. Лоренц вывел его тем же самым способом, каким пользовались и мы.

Но что можно сказать о добавочном множителе 1/Ц(1-v 2/с 2), который появился перед дробью в (21.39)? И кроме того, как появляется векторный потенциал А, если он в системе покоя частицы повсюду равен нулю? Мы вскоре покажем, что А и j вместе составляют четырехвектор, подобно импульсу р и полной энергии U частицы. Добавка 1/Ц(1—v 2/c 2) в (21.39)—это тот самый множитель, который появляется всегда, когда пре­образуют компоненты четырехвектора, так же как плотность заряда r преобразуется в r/Ц(1-v 2/c 2). Собственно из формул (21.4) и (21.5) почти очевидно, что А и j суть компоненты одного четырехвектора, потому что в гл. 13 (вып. 5) уже было пока­зано, что j и r — компоненты четырехвектора.

Позднее мы более подробно разберем относительность в электродинамике; здесь мы хотели только показать, как естест­венно уравнения Максвелла приводят к преобразованиям Лоренца. Поэтому не надо удивляться, узнав, что законы электричества и магнетизма уже вполне пригодны и для теории относительности Эйнштейна. Их не нужно даже как-то особо подгонять, как это приходилось делать с ньютоновой механи­кой.

* С обратным знаком. См. дальше.— Прим. ред.

*Формула была выведена Р. Фейнманом в 1950 г. и приводится иног­да в лекциях как удобный способ расчета синхротронного излучения .