Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

Через r' 12 здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (7), измеренный в более раннее время (t—r 12 /c). Эта формула ошибочна.

Фиг. 21.5. «Точечный» заряд (рассматриваемый как неболь­шое распределение зарядов в форме куба), движущийся со скоростью v к точке (1).

Правильный ответ такой:

(21.29)

где v r ' — компонента скорости заряда, параллельная r 12, т. е. направленная к точке (1). Сейчас я объясню, почему это так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (1) со ско­ростью v(фиг. 21:5). Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше r 12[расстояния от центра заряда до точки (1)].

Чтобы оценить величину интеграла (21.28), мы вернемся к основному определению: запишем его в виде суммы

(21.30)

где r i — расстояние от точки (1) к i-му элементу объема DV i, а r i-— плотность заряда в DV iв момент t i =(t-r i /с). Поскольку все r i>> а, удобно будет выбрать все DV iв виде тонких прямо­угольных ломтиков, перпендикулярных к r 12(фиг. 21.6).

Предположим, что мы начали с того, что взяли элементы объема DV iнекоторой толщины w, много меньшей а.

Отдельные элементы объема будут выглядеть так, как по­казано на фиг. 21.7, а. Их нарисовано гораздо больше, чем нужно, чтобы закрыть весь заряд. А сам заряд не показан, и по весьма существенной причине. Где его нужно нарисовать? Ведь для каждого элемента объема DV iнадо брать r в свой момент t~(t-r/с). Но раз заряд движется, то для каждого элемента объема DV i он окажется в другом месте!

Начнем, скажем, с элемента объема 1 на фиг. 21.7, а, выбранного так, чтобы в момент t l = (t-r 1 /с) «задняя» грань заряда пришлась на DV i(фиг, 21.7, б).

Фиг. 21.6, Элемент объема D V i , используемый для вычисления потенциалов.

Фиг. 21.7. Интегрирование r(t-r'/c)dV для движущегося заряда.

Тогда, вычисляя r 2DV 2, нужно взять положение заряда в несколько более позд­нее время t 2 =(t- r 2 /c) и заряд к этому времени сместится в по­ложение, показанное на фиг. 21.7, в. Так же будет с DV 3, DV 4и т. д. Вот теперь можно подсчитывать сумму.

Толщина каждого DV i- равна w, а объем wa 2. Поэтому каж­дый элемент объема, накладывающийся на распределение заряда, содержит в себе заряд wa 2r, где r — плотность заряда внутри куба (мы считаем ее однородной). Когда расстояние от заряда до точки (1) велико, то можно все r iв знаменателях по­ложить равными некоторому среднему значению, скажем, взятому с учетом запаздывания положению r ' центра куба. Сумма (21.30) превращается в

где DV N—тот последний элемент DV i, который еще накла­дывается на распределение зарядов (см. фиг. 21.7, д). Сумма тем самым равна

Но ra 3— просто общий заряд q, a Nw— длина b , показанная на фиг. 21.7, д. Получается

(21.31)

А чему же равно b? Это длина куба зарядов, увеличенная на расстояние, пройденное зарядом за время от t 1 =(t-r 1 /с) до t N =(t—r N /с). Это расстояние, пройденное зарядом за время

А поскольку скорость заряда равна v, то пройденное рас­стояние равно vDt = vb/c. Но длина b — само это расстояние плюс a:

Отсюда

Здесь, конечно, под v подразумевается скорость в «запазды­вающий» момент t' = (t-r'/с); это можно указать, записав [1— v/c] зап ; тогда уравнение (21.23) для потенциала прини­мает вид

Это согласуется с тем, что было предположено в (21.29). Поя­вился поправочный множитель. Он появился потому, что в то время, как наш интеграл «проносится над зарядом», сам заряд движется. Когда заряд движется к точке (1), его вклад в ин­теграл увеличивается в b /а раз. Поэтому правильное значение интеграла равно q/r', умноженному на b /а, т.е. на 1/[1—v/c] з an.

Если скорость заряда направлена не к точке наблюдения (1), то легко видеть, что важна только составляющая его скорости в направлении к точке (1). Если обозначить эту составляющую скорости через v r , то поправочный множитель запишется в виде 1/[1-v r/с] зап. Кроме того, проделанный нами анализ в равной степени проходит для распределения заряда любой формы (это не обязательно должен быть куб). Наконец, поскольку «раз­мер» а заряда не вошел в окончательный итог, то тот же резуль­тат получится, если заряд стянется до любых размеров, вплоть до точки. Общий результат состоит в том, что скалярный потен­циал точечного заряда, движущегося с произвольной скоростью,

(21.32)

Это уравнение часто пишут в эквивалентном виде:

(21.33)

где r — вектор, соединяющий заряд с той точкой (1), в кото­рой вычисляется потенциал j, а все величины в скобках надо вычислять в «запаздывающий» момент времени t'=(t—r'/c).

То же самое получается и тогда, когда по (21.16) вычисляют А для точечного заряда. Плотность тока равна rv, а интеграл от r — тот же, что и в j. Векторный потенциал равен