Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

Но тогда почему же принцип виртуальной работы дает правильный ответ? Потому, что пока мы не учитывали полную энергию Вселенной. Мы не включали в рассмотрение энергию тех токов, которые создают магнитное поле, с самого начала присутствующее в наших рассуждениях.

Но представим себе полную систему, наподобие изображен­ной на фиг. 15.3,а, где петля с током I вдвигается в магнитное поле B 1 созданное током I 2в катушке. ТокI 1, текущий по петле, тоже будет создавать какое-то магнитное поле В 2 близ катушки. Если петля движется, то поле В 2 изменяется. В следующей главе мы увидим, что изменяющееся магнитное поле создает поле Е, и это поле действительно начнет действовать на заряды в катушке. Эту энергию мы обязаны включить в наш сводный баланс энергий.

Мы, конечно, могли бы подождать говорить об этом новом вкладе в энергию до следующей главы, но уже сейчас можно оценить его, если применить соображения принципа относи­тельности.

Фиг. 15.3. Вычисление энергии маленькой петли в магнитном поле.

Приближаем петлю к неподвижной катушке и знаем, что электрическая энергия петли в точности равна и противо­положна по знаку произведенной механической работе. Иначе говоря,

Теперь предположим, что мы смотрим на происходящее с другой точки зрения: будем считать, что петля покоится, а катушка приближается к ней. Тогда катушка движется в поле, создан­ном петлей. Те же рассуждения приведут к выражению

Механическая энергия в обоих случаях одна и та же — она определяется только силой, действующей между двумя конту­рами.

Сложение двух уравнений дает

Полная энергия всей системы равна, конечно, сумме двух элект­рических энергий и взятой один раз механической энергии. В итоге выходит

Полная энергия всей системы — это на самом деле U мех со знаком минус. Если нам нужна, скажем, полная энергия магнитного диполя, то следует писать

И только тогда, когда мы потребуем, чтобы все токи оставались постоянными, можно использовать лишь одну из частей энергии U мех(всегда равную истинной анергии со знаком минус) для вычисления механических сил. В более общих задачах надо соблюдать осторожность, чтобы не забыть ни одной из энергий. Сходное положение наблюдалось и в электростатике. Мы показали там, что энергия конденсатора равна Q 2 /2C. Когда мы применяем принцип виртуальной работы, чтобы найти силу, действующую между обкладками конденсатора, то изменение энергии равно Q 2/2, умноженному на изменение в 1 /С, т. е.

(15.14)

А теперь предположим, что нам надо было бы подсчитать работу, затрачиваемую на сближение двух проводников, но при другом условии — что напряжение между ними остается постоянным. Тогда правильную величину силы мы могли бы получить из принципа виртуальной работы, если бы поступили немного искусственным образом. Раз Q = CV, то полная энер­гия равна 1/ 2 CV 2 . Но если бы мы ввели условную энергию, равную — 1/ 2CV 2, то принцип виртуальной работы можно было бы применить для получения сил, полагая изменение этой условной энергии равным механической работе (это при условии, что напряжение V

считается постоянным). Тогда

(15.15)

а это то же самое, что написано в уравнении (15.14). Мы полу­чаем правильный ответ, хотя пренебрегаем работой, которую электрическая система тратит на постоянное поддержание напряжения. И здесь опять электрическая энергия ровно вдвое больше механической и имеет обратный знак.

Итак, если мы ведем расчет искусственно, пренебрегая тем фактом, что источник потенциала должен тратить работу на то, чтобы напряжение оставалось неизменным, то все равно мы приходим к правильному результату. Это в точности соответ­ствует положению дел в магнитостатике.

§ 3. Энергия постоянных токов

Зная, что U полн= -U мех, используем этот факт, чтобы найти истинную энергию постоянных токов в магнитных полях. Начать можно с истинной энергии небольшой токовой петельки. Обозначая U полн просто через U , напишем

U = m·В .(15.16)

Хотя эту энергию мы подсчитали только для плоской прямо­угольной петли, все это верно и для плоской петельки произ­вольной формы.

Энергию контура произвольной формы можно найти, пред­ставив себе, что он состоит из небольших токовых петель. Ска­жем, имеется провод в форме петли Г (фиг. 15.4). Натянем на эту петлю поверхность S, а на ней наметим множество петелек, каждую из которых можно считать плоской. Если заставить ток I циркулировать по каждой петельке, то в итоге выйдет то же самое, как если бы ток шел только по петле Г, ибо токи на всех внутренних линиях взаимно уничтожатся. Система не­больших токов физически не будет отличима от исходного контура, и энергия должна быть той же, т. е. должна быть равна сумме энергий всех петелек.

Если площадь каждой петельки Dа, то ее энергия равна IDаB n, где B n— компонента В, нормальная к Dа. Полная энергия равна U = SIB n Dа.

Фиг. 15.4. Энергию большой петли в магнитном поле можно считать суммой энергий маленьких петелек.

В пределе, когда петли становятся бесконечно малыми, сумма превращается в интеграл, и

(15.17)

где n — единичная нормаль к da,

Если мы положим В = СXA, то поверхностный интеграл можно будет связать с контурным (по теореме Стокса):