Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

(15.30)

Аналогично, фаза для траектории (2) равна

(15.31)

Интерференция волн в детекторе зависит от разности фаз

Разность фаз в отсутствие поля мы обозначим d (В = 0); это та самая разность, которую мы подсчитали в уравнении (15.28). Кроме того, мы замечаем, что из двух интегралов можно сделать один, идущий вперед по пути (1), а назад — по пути (2); этот замкнутый путь будет обозначаться (1—2). Так что получается

(15.33)

Это уравнение сообщает нам, как под действием магнитного поля изменяется движение электрона; с его помощью мы мо­жем найти новые положения максимумов и минимумов интен­сивности.

Прежде чем сделать это, мы хотим, однако, поставить один интересный и важный вопрос. Вы помните, что в вектор-потен­циальной функции есть некоторый произвол. Две разные век­тор-потенциальные функции А и А', отличающиеся на гра­диент Сy некоторой скалярной функции, представляют одно и то же магнитное поле (потому что ротор градиента равен нулю). Они поэтому приводят к одной и той же классической силе qvX В. Если в квантовой механике все эффекты зависят от векторного потенциала, то какая из многих возможных А-функций правильна?

Ответ состоит в том, что в квантовой механике продолжает существовать тот же произвол в А. Если в уравнении (15.33) мы заменим А на А' = А+Сy, то интеграл от А пре­вратится в

Интеграл от Сy вычисляется по замкнутому пути (1—2); но интеграл от касательной составляющей градиента по замкну­тому пути всегда равен нулю (по теореме Стокса). Поэтому как А, так и А' приводят к одним и тем же разностям фаз и к од­ним и тем же квантовомеханическим эффектам интерференции. И в классической, и в квантовой теории важен только ротор 4; любая функция А, у которой ротор такой, как надо, приводит к правильной теории.

Тот же вывод становится очевидным, если мы используем результаты, приведенные в гл. 14, § 1. Там мы показали, что контурный интеграл от А по замкнутому пути равен потоку В через контур, в данном случае потоку между путями (1) и (2). Уравнение (15.33) можно, если мы хотим, записать в виде

где под потоком В, как обычно, подразумевается поверхностный интеграл от нормальной составляющей В. Результат зависит только от В, т. е. только от ротора А.

Но раз результат можно выражать и через В и через А, то может создаться впечатление, что В удерживает свои позиции «реального» поля, а А все еще выглядит искусственным образо­ванием. Но определение «реального» поля, которое мы вначале предложили, основывалось на идее о том, что «реальное» поле не смогло бы действовать на частицу на расстоянии. Мы же беремся привести пример, в котором В равно нулю (или по крайней мере сколь угодно малому числу) в любом месте, где частицы могут оказаться, так что невозможно представить себе, что В непосредственно действует на них.

Вы помните, что если имеется длинный соленоид, по кото­рому течет электрический ток, то поле В существует внутри него, а снаружи поля нет, тогда как множество векторов А циркулирует снаружи соленоида (фиг. 15.6). Если мы создадим такие условия, что электроны будут проходить только вне соле­ноида (только там, где есть А), то, согласно уравнению (15.33),

соленоид будет все же влиять на их движение.

Фиг. 15.6. Магнитное поле и векторный потенциал длинного соленоида.

По классическим же воззрениям это невозможно. По классическим представлениям сила зависит только от В. Чтобы узнать, течет ли по соле­ноиду ток, частица должна пройти сквозь него. А квантовая механика утверждает, что наличие магнитного поля в соле­ноиде можно установить, просто обойдя его, даже не прибли­жаясь к нему вплотную!

Представьте, что мы поместили очень длинный соленоид ма­лого диаметра прямо тут же за стенкой между двумя щелями (фиг. 15.7). Диаметр соленоида должен быть намного меньше расстояния d между щелями. В этих обстоятельствах дифракция электронов на щели не приведет к заметным вероятностям того, что электроны проскользнут где-то близ соленоида. Как же все это повлияет на наш интерференционный эксперимент?

Сравним два случая: когда ток по соленоиду идет и когда тока нет. Если тока нет, то нет ни В ни А, и получается перво­начальная картина электронных интенсивностей вдоль поглотителя.

Фиг. 15.7. Магнитное поле способно влиять на движение элек­тронов, даже когда оно существует только в области, еде вероят­ность обнаружить электрон пренебрежимо мала.

Если мы включим ток и создадим внутри соленоида магнитное поле В, то снаружи появится поле А. Возникнет сдвиг в разности фаз, пропорциональный циркуляции А вне соленоида, а это означает, что картина максимумов и миниму­мов сдвинется на другое место. Действительно, раз поток В между любыми двумя путями постоянен, то точно так же по­стоянна и циркуляция А. Для любой точки прибытия фаза ме­няется одинаково; это соответствует тому, что вся картина сдвигается по х на постоянную величину, скажем, на х 0 . Эту величину х 0 легко подсчитать. Максимальная интенсивность возникает там, где разность фаз двух волн равна нулю. Под­ставляя вместо d выражение (15.32) или (15.33), а вместо d (B=0) выражение (15.28), получаем

(15.35)

или

(15.36)

Картина при наличии соленоида будет выглядеть так, как показано на фиг. 15.7. По крайней мере так предсказывает квантовая механика.

Недавно был проделан точно такой же опыт. Это чрезвы­чайно сложный опыт. Длина волны электронов крайне мала, поэтому прибор должен быть миниатюрным, иначе интерферен­ции не заметишь. Щели должны лежать вплотную друг к другу, а это означает, что нужен необычайно тонкий соленоид. Оказы­вается, что при некоторых обстоятельствах кристаллы железа вырастают в виде очень длинных и микроскопически тонких нитей. Если эти железные нити намагнитить, они образуют маленький соленоид, у которого нет снаружи магнитного поля (оно проявляется только на концах). Так вот, был проделан опыт по интерференции электронов с железной нитью, помещенной между двумя щелями, и предсказанное смещение электронной картины подтвердилось.