Ричард Фейнман - 5a. Электричество и магнетизм

Фиг. 5.9. Во всякой точке Р внутри заряженной сфериче­ской оболочки поле равно нулю.

Представим узкий конус, который начи­нается в точке Р и тянется до поверхности сферы, вырезая там небольшой сферический участок Da t(фиг. 5.9). В точности сим­метричный конус по другую сторону вершины вырежет на по­верхности площадь Dа 2. Если расстояния от Р до этих двух элементов площади равны r 1и r 2, то площади находятся в от­ношении

(Вы можете доказать это для любой точки шара с помощью гео­метрии.)

Если поверхность сферы заряжена равномерно, то заряд D q на каждом элементе поверхности пропорционален его пло­щади

Тогда закон Кулона утверждает, что величины полей, созда­ваемых в Р этими двумя элементами поверхности, находятся в отношении

Поля в точности взаимно уничтожаются. Таким способом можно разбить на пары всю сферу. Значит, все поле в точке Р равно нулю. Но вы видите, что этого не было бы, окажись показатель степени r в законе Кулона не равным в точности двойке.

Справедливость закона Гаусса зависит от закона обратных квадратов Кулона. Если бы закон силы не подчинялся в точности зависимости 1/r 2, то поле внутри однородно заряженной сфе­ры не было бы в точности равно нулю. Например, если бы поле менялось быстрее (скажем, как 1/r 3), то часть сферы, которая ближе к точке Р, создала бы в точке Р более сильное поле, чем дальняя часть. Получилось бы (для положительного поверх­ностного заряда) радиальное поле, направленное к центру. Эти заключения подсказывают нам элегантный путь проверки точности выполнения закона обратных квадратов. Для этого нужно только узнать, в точности ли поле внутри однородно за­ряженной сферы равно нулю.

Наше счастье, что такой способ существует. Ведь обычно трудно измерить физическую величину с высокой точностью. Добиться однопроцентной точности было бы нетрудно, но как быть, если нам понадобится измерить закон Кулона с точностью, скажем, до одной миллиардной? Можно почти ручаться, что из­мерить с такой точностью силу, действующую между двумя за­ряженными телами, не способны даже лучшие приборы. Но если только нужно убедиться в том, что поле внутри сферы меньше некоторого значения, то можно провести довольно точное из­мерение справедливости закона Гаусса и тем самым проверить обратную квадратичную зависимость в законе Кулона. В сущ­ности происходит сравнение закона силы с идеальным законом обратных квадратов. Именно такие сравнения одинаковых, или почти одинаковых, вещей обычно становятся основой самых точ­ных физических измерений.

Как же наблюдать поле внутри заряженной сферы? Один из способов,— это попытаться зарядить тело, дотронувшись им до внутренней части сферического проводника. Вы знаете, что если коснуться металлическим шариком заряженного тела, затем электрометра, то прибор зарядится и стрелка отклонится от нуля (фиг. 5.10, а). Шар собирает на себя заряды, потому что снаружи заряженной сферы имеются электрические поля, за­ставляющие заряды переходить на шарик (или с него). А если вы проделаете тот же опыт, коснувшись шариком внутренности заряженной сферы, то увидите, что к электрометру заряд не подводится. Из такого опыта сразу видно, что внутреннее поле составляет в лучшем случае несколько процентов от внешнего и что закон Гаусса верен, по крайней мере, приближенно.

Кажется, первым, заметившим, что поле внутри заряженной сферы равно нулю, был Бенджамен Франклин. Это показалось ему странным. Когда он сообщил об этом Пристли, тот заподоз­рил, что это связано с законом обратных квадратов, потому что было известно, что сферический слой вещества не создает внут­ри себя поля тяготения. Но Кулон измерил обратную квадра­тичную зависимость только через 18 лет, а закон Гаусса появился на свет и того позже.

Фиг. 5.10. Внутри замкну­той проводящей оболочки электрическое поле равно нулю.

Закон Гаусса был про­верен очень тщательно; для этого электрометр помещали внутрь большой сферы и наблюдали, отклонится ли стрелка, когда сферу зарядят до высокого напряжения. Результат всегда получался отрицательным. Если знать геометрию аппарата и чув­ствительность прибора, можно рассчитать наименьшее поле, которое еще доступно наблю­дению. Из этого числа можно установить верхний предел отклонения показателя степени от двух. Если записать зависи­мость электростатической силы от расстояния в виде r -2 + e, то можно определить верхнюю границу e. Этим способом Максвелл узнал, что e меньше 1/10000. Опыт был повторен и усовершен­ствован в 1936 г. Плимптоном и Лафтоном. Они обнаружили, что кулонов показатель отличается от 2 меньше чем на одну миллиардную.

Это подводит нас к интересному вопросу: как точно выполня­ется закон Кулона в различных обстоятельствах? В только что описанных опытах измерялась зависимость поля от расстояния на расстояниях порядка десятков сантиметров. А что можно сказать о внутриатомных расстояниях, скажем внутри атома водорода, где, как мы считаем, электрон притягивается к ядру по тому же закону обратных квадратов? Конечно, для описа­ния механической части поведения электрона нужна кванто­вая механика, но сила здесь — по-прежнему привычная элект­ростатическая сила. В постановке задачи об атоме водорода известна потенциальная энергия электрона как функция рас­стояния от ядра, и тогда закон Кулона приводит к потенциалу, обратно пропорциональному первой степени расстояния. С ка­кой точностью этот показатель известен на таких малых расстоя­ниях? В итоге очень тщательных измерений относительного расположения уровней энергии водорода, проведенных в 1947 г. Лэмбом и Ризерфордом, нам теперь известно, что и на расстоя­ниях порядка атомных, т. е. порядка ангстрема (10 -8см),пока­затель выдерживается с точностью до одной миллиардной.

Такая точность измерений Лэмба и Ризерфорда оказалась возможной опять благодаря одной физической «случайности». Среди состояний атома водорода есть два таких, у которых энер­гии должны быть почти одинаковыми лишь в том случае, если потенциал меняется точно по закону 1/r . Измерялась очень ма­лая разница в энергиях по частоте w фотонов, испускаемых или поглощаемых при переходах из одного состояния в другое (сог­ласно формуле DE=hw). Расчеты показали, что DE заметно отличалась бы от наблюдавшегося значения, если бы показатель степени в законе силы 1/г 2отличался бы от 2 только на одну миллиардную.