Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм

Следует подчеркнуть важный факт. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует по­тенциал. Если вы вдумаетесь в это, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична. То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1/r 2, не имело никакого значе­ния, при любой зависимости от r получилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е выте­кают на самом деле только из симметрии и направленности электростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (4.29) может содержать в себе только часть законов элект­ричества.

§ 5. Поток поля Е

Теперь мы хотим вывести уравнение, которое непосредст­венно и в лоб учитывает тот факт, что закон силы — это закон обратных квадратов. Кое-кому кажется «вполне естественным», что поле меняется обратно пропорционально квадрату расстоя­ния, потому что «именно так, мол, все распространяется». Возьмите световой источник, из которого льется поток света; количество света, проходящее через основание конуса с верши­ной в источнике, одно и то же независимо от того, насколько основание удалено от вершины. Это с необходимостью следует из сохранения световой энергии. Количество света на еди­ницу площади — интенсивность — должно быть обратно про­порционально площади, вырезанной конусом, т. е. квадрату расстояния от источника. Ясно, что по той же причине и элект­рическое поле должно изменяться обратно квадрату расстояния!

Но здесь ведь нет ничего похожего на «ту же причину». Ведь никто не может сказать, что электрическое поле есть мера чего-то такого, что похоже на свет и что поэтому должно сохра­няться. Если бы у нас была такая «модель» электрического поля, в которой вектор поля представлял бы направление и скорость (ну, например, был бы током) каких-то вылетающих маленьких «дробинок», и если бы эта модель требовала, чтобы число дро­бинок сохранялось и ни одна не могла пропасть после вылета из заряда, вот тогда мы могли бы говорить, что «чувствуем» неизбежность закона обратных квадратов. С другой стороны, непременно должен был бы существовать математический способ выражения этой физической идеи. Если бы электрическое поле было подобно сохраняющимся дробинкам, то оно меня­лось бы обратно пропорционально квадрату расстояния и мы могли бы описать такое поведение некоторым уравнением, т. е. чисто математическим путем. Если мы не утверждаем, что элект­рическое поле сделано из дробинок, а понимаем, что это просто модель, помогающая нам прийти к правильной математической теории, то ничего плохого в таком способе рассуждений нет.

Предположим, что мы на мгновение представили себе элект­рическое поле в виде потока чего-то сохраняющегося и текущего повсюду, за исключением того места, где расположен сам заряд (должен же этот поток откуда-то начинаться!).

Фиг. 4.5. Поток E из поверхности S равен нулю.

Представим что-то (что именно — неважно), вытекающее из заряда в окружающее пространство. Если бы Е было вектором такого потока (как h— вектор теплового потока), то вблизи от точечного источника оно обладало бы зависимостью 1/r 2. Теперь мы желаем исполь­зовать эту модель для того, чтобы глубже сформулировать закон обратных квадратов, а не просто говорить об «обратных квадратах». (Вам может показаться удивительным, почему вместо того, чтобы сходу, прямо и открыто сформулировать столь прос­той закон, мы хотим трусливо протащить то же самое, но с зад­него хода. Немного терпения! Это окажется небесполезным.) Спросим себя: чему равно «вытекание» Е из произвольной замкнутой поверхности в окрестности точечного заряда? Для начала возьмем простенькую поверхность — такую, как пока­зано на фиг. 4.5. Если поле Е похоже на поток, то суммарное вытекание из этого ящика должно быть равно нулю. Это и полу­чается, если под «вытеканием» из этой поверхности мы понимаем поверхностный интеграл от нормальной составляющей Е, т. е. поток Е в том смысле, который был установлен в гл. 3. На бо­ковых гранях нормальная составляющая Е равна нулю. На сферических гранях нормальная составляющая Е равна самой величине Е, с минусом на меньшей грани и с плюсом на большей. Величина Е убывает как 1/r 2, а площадь грани растет как r 2, так что их произведение от r не зависит. Приток Е через грань а в точности гасится оттоком через грань b . Суммарный поток через S равен нулю, а это все равно, что сказать, что

(4.30)

на этой поверхности.

Теперь покажем, что две «торцевые» поверхности могут быть без ущерба для величины интеграла (4.30) перекошены отно­сительно радиуса. Хотя это верно всегда, но для наших целей

Фиг. 4.6. Поток Е из поверхности S равен нулю.

достаточно только показать, что это справедливо тогда, когда «торцы» малы и стягивают малый угол с вершиной в источнике, т. е. в действительности бесконечно малый угол. На фиг. 4.6 показана поверхность S, «боковые грани» которой радиальны, а «торцы» перекошены. На рисунке они не малы, но надо пред­ставить себе, что на самом деле они очень малы. Тогда поле Е над поверхностью будет достаточно однородным, так что можно взять его значение в центре. Если торец наклонен на угол q, то его площадь возрастает в 1/cosq раз, а Е n — компонента Е, нормальная к поверхности торца, убывает в cosq раз, так что произведение Е n Dа не меняется. Поток из всей поверхности S по-прежнему равен нулю.

Теперь уже легко разглядеть, что и поток из объема, окру­женного произвольной поверхностью S, обязан быть равным ну­лю. Ведь любой объем можно представить себе составленным из таких частей, как на фиг. 4.6. Вся поверхность раз­делится на пары торцевых участков, а поскольку потоки через каждую из них внутрь и наружу объема попарно уничтожаются, то и суммарный поток через поверхность обратится в нуль. Идея эта иллюстрируется фиг. 4.7. Мы получаем совершенно общий результат: суммарный поток Е через любую поверхность S в поле точечного заряда равен нулю.

Фиг. 4.7. Всякий объем можно представлять себе состоящим из бесконечно ма­лых усеченных конусов.