Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм

Поток E сквозь один конец каж­дого конического сегмента равен и противоположен потоку сквозь другой конец. Общий поток из поверхности S поэтому равен пулю.

Фиг. 4.8. Если заряд нахо­дится внутри поверхности, поток наружу не равен нулю.

Будьте, однако, внимательны! Наше доказательство рабо­тает только тогда, когда поверхность S не окружает заряд. А что случилось бы, если бы точечный заряд оказался внутри поверхности? Как и раньше, поверхность можно было бы разде­лить на пары площадок, связанные радиальными прямыми, про­ходящими через заряд (фиг. 4.8). Потоки через эти участки по той же причине, что и раньте, по-прежнему попарно равны, но только теперь их знаки одинаковы. Поток из поверхности, окружающей заряд, не равен нулю. Тогда чему же он равен? Это можно определить с помощью фокуса. Допустим, что мы «убрали» заряд «изнутри», окружив его маленькой поверхно­стью S' так, чтобы она лежала целиком внутри первоначальной поверхности 5 (фиг. 4.9). Теперь в объеме, заключенном между двумя поверхностями S и S', никакого заряда нет. Общий по­ток из этого объема (включая поток через S') равен нулю, в чем можно убедиться при помощи прежних аргументов. Они говорят нам, что поток через S' внутрь объема такой же, как поток через S наружу.

Для S' мы можем выбрать любую, какую угодно форму, поэтому давайте сделаем ее сферой с зарядом в центре (фиг. 4.10). Тогда поток через нее подсчитать легко. Если радиус малой сферы равен r, то значение Е повсюду на ее поверхности равно

и направлено всегда по нормали к поверхности. Весь поток

Фиг. 4.9. Поток через S равен потоку через S'.

Фиг. 4.10 . Поток через сфериче­скую поверхность, охватывающую точечный заряд q, равен qle 0 .

через S' получится, если эту нормальную составляющую Е умножить на площадь поверхности:

Поток через поверхность

т. е. равен числу, не зависящему от радиуса сферы! Значит, и поток наружу через S тоже равен q/e 0; это значение не зависит от формы S до тех пор, пока заряд q находится внутри. Наши выводы мы можем записать так:

(4.32)

Давайте вернемся к нашей аналогии с «дробинками» и по­смотрим, есть ли в ней смысл. Наша теорема утверждает, что суммарный поток дробинок через поверхность равен нулю, если поверхность не окружает собой ружье, стреляющее дробью. А если ружье окружено поверхностью, то какого бы размера или формы она ни была, количество проходящих через нее дро­бинок всегда одно и то же — оно дается скоростью, с которой дробинки вылетают из ружья. Все это выглядит вполне разумно для сохраняющихся дробинок. Но сообщает ли эта модель нам хоть что-то сверх того, что получается просто из уравнения (4.32)? Никому не удалось добиться того, чтобы «дробинки» произвели на свет что-нибудь сверх этого закона. Кроме него, они порождают только ошибки. Поэтому-то мы сегодня предпо­читаем чисто абстрактное представление об электромагнитном поле.

§ 6. Закон Гаусса; дивергенция поля Е

Наш изящный результат — уравнение (4.32) — был дока­зан для отдельного точечного заряда. А теперь допустим, что имеются два заряда: заряд q l — в одной точке и заряд (q 2— в другой. Задача выглядит уже потруднее. Теперь электрическое поле, нормальную составляющую которого мы интегрируем, это уже поле, созданное обоими зарядами. Иначе говоря, если e 1—то электрическое поле, которое создал бы один только заряд q 1,a E 2— электрическое поле, создаваемое одним зарядом q 2 , то суммарное электрическое поле равно Е=Е 1+ Е 2. Поток через произвольную замкнутую поверхность S равен

(4.33)

Поток при наличии двух зарядов — это поток, вызванный од­ним зарядом, плюс поток, вызванный другим. Если оба находятся снаружи S, то поток сквозь S равен нулю. Если q l нахо­дится внутри S, a q 2 — снаружи, то первый интеграл даст q 1/e 0, а второй — нуль. Если поверхность окружает оба заряда, то каждый внесет вклад в интеграл и поток окажется равным (q 1+q 2)/e 0. Общее правило очевидно: суммарный поток из замк­нутой поверхности равен суммарному заряду внутри нее, де­ленному на e 0.

Этот результат представляет собой важный общий закон электростатического поля, и называется он теоремой Гаусса,

Закон Гаусса:

(4.34)

или

(4.35)

где

(4.36)

Из нашего вывода видно, что закон Гаусса вытекает из того факта, что показатель степени в законе Кулона в точности равен двум. Поле с законом 1/r 3, да и любое поле 1/r nс n№2, не привело бы к закону Гаусса. Значит, закон Гаусса как раз выражает (только в другой форме) закон сил Кулона, дей­ствующих между двумя зарядами. Действительно, отправляясь от закона Гаусса, можно вывести закон Кулона. Оба они со­вершенно равноценны до того момента, пока силы между заря­дами действуют радиально.

Теперь мы хотим записать закон Гаусса на языке произ­водных. Чтобы это сделать, применим его к поверхности бес­конечно малого куба. В гл. 3 мы показали, что поток Е из такого куба равен дивергенции С·Е, помноженной на объем dV куба. Заряд внутри dV по определению r равен r dV, так что закон Гаусса дает

или

(4.38)

Дифференциальная форма закона Гаусса — это первое из наших фундаментальных уравнений поля в электростатике, уравнение (4.5). Мы теперь показали, что два уравнения электростатики (4.5) и (4.6) эквивалентны закону силы Кулона. Разберем один пример применения закона Гаусса (другие примеры будут рас­смотрены позже).