Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук

х вых =К(cos w t+ e cos 2 w t). (50.26) Используя равенство cos 2q = 1/ 2(l-cos2q), находим

x вых =K(cos w t+ e /2- e /2cos 2 w t) . (50.27)

Таким образом, в выходящей волне присутствует не только основ­ная компонента, которая была во входящей волне, но и некоторая доля второй гармоники. Кроме того, в выходящей волне появился постоянный член К(e/2), который соответствует сдви­гу среднего значения, показанному на фиг. 50.5. Эффект воз­никновения сдвига среднего значения называется выпрямлением. Нелинейное устройство будет выпрямлять и давать на выходе высшие гармоники. Хотя предположенная нами нелинейность только добавляет вторую гармонику, нелинейность высшего

порядка, например х 3 вх или x 4 вх, даст уже более высокие гармо­ники.

Другим результатом нелинейной реакции является моду­ляция. Если входящая функция содержит два (или больше) чистых тона, то на выходе получатся не только их гармоники, но и другие частотные компоненты. Пусть х вх =А cosw 1t+Bcosw 2t, причем w 1и w 2 не находятся в рациональном отношении друг к другу. Тогда в дополнение к линейному члену (равному произ­ведению К на входящую волну) на выходе мы получим

x вых =Ke(Acos w 1 t+Bcos w 2 t) 2 , (50.28)

х вых =Кe(А 2 cos 2w 1t+ В 2 cos 2w 2t+ 2AB cos w 1tcosw 2t). (50.29)

Первые два члена в скобках уравнения (50.29) — старые зна­комые. Они дают нулевую и вторую гармоники, но последний член — это уже нечто новое.

На этот новый «перекрестный член» АВ cosw 1 t cosw 2 t можно смотреть с двух сторон. Во-первых, если две частоты сильно отличаются друг от друга (например, w 1много больше w 2), то мы можем считать, что перекрестный член представляет косинусообразные колебания с переменной амплитудой. Я имею в виду такую запись:

АВ cosw 1tcosw 2t=C (t) cosw 1t, (50.30)

где

С(t)=АВсоs w 2 t. (50.31)

Мы говорим, что амплитуда колебаний cosw 1 модулируется с частотой w 2.

Во-вторых, этот же перекрестный член можно рассматри­вать с другой точки зрения:

ABcosw 1 tcosw 2 t= AB/2[cos (w 1-w 2) t +cos(w 1-+w 2) t], (50.32)

т. е. можно сказать, что возникают две новые компоненты, одна из которых равна сумме частот w 1+w 2, а другая — разности

Таким образом, существуют два различных, но эквивалент­ных способа толкования одного и того же явления. В предель­ном случае w 1>>w 2можно связать эти две различные точки зре­ния, заметив, что поскольку (w 1+w 2) и (w 1-w 2) близки друг к другу, то между ними должны наблюдаться биения. Но эти биения дают в результате модуляцию амплитуды колебаний со средней частотой w 1, половинкой разности частот 2w 2. Теперь вы видите, почему эти два описания эквивалентны.

Итак, мы обнаружили, что нелинейная реакция дает не­сколько эффектов: выпрямление, возникновение гармоник и модуляцию, т. е. возникновение компонент с суммой и разно­стью частот.

Обратите внимание, что все эти эффекты пропорциональны не только коэффициенту нелинейности e, но и произведению амплитуд: либо A 2 , либо В 2 , либо АВ. Поэтому мы ожидаем, что они будут более важны для сильных сигналов, чем для слабых.

Описанные нами эффекты находят множество практических приложений. Во-первых, что касается звука, то, как полагают, наше ухо — нелинейный аппарат. Такое представление воз­никло из того факта, что, даже когда звук содержит только чистые тоны, при большой громкости возникает ощущение, что мы слышим высшие гармоники, а также сумму и разность час­тот.

Аппараты, используемые обычно в звуковоспроизводящих устройствах,— усилители, громкоговорители и т. д.— всегда имеют какие-то нелинейности. Они искажают звук, порождая гармоники, которых вначале не было. Эти новые гармоники воспринимаются ухом и, несомненно, нежелательны. Именно по этой причине высокочастотная аппаратура должна быть как можно «более линейной». (Почему нелинейность нашего собст­венного уха не «неприятна» и откуда нам знать, что нелинейность «сидит» в громкоговорителе, а не в нашем ухе,— не ясно!)

Однако в некоторых случаях нелинейность совершенно необходима, и в некоторых частях радиопередающих и прини­мающих устройств она намеренно делается побольше. При ра­диопередачах с помощью амплитудной модуляции сигналы от «голоса» (частоты порядка нескольких килогерц) комбинируются с «несущим сигналом» (с частотой порядка нескольких ме­гагерц) в нелинейной цепи, которая называется модулятором. При этом получаются модулированные колебания, которые за­тем излучаются в эфир. В приемнике сигнал снова попадает в нелинейный контур, который складывает и вычитает частоты модулированного сигнала, выделяя снова звуковой сигнал.

Когда мы разбирали вопрос прохождения света через ве­щество, мы предполагали, что вынужденные колебания зарядов пропорциональны электрическому полю света, т. е. мы брали линейную реакцию. Это действительно очень хорошее прибли­жение. Только в последние несколько лет были построены источ­ники света (лазеры), которые дают интенсивность, достаточную для наблюдения нелинейных эффектов. Теперь можно создавать гармоники световых частот. Если пропускать через кусок стекла сильный красный свет, то выходит он оттуда с неболь­шим добавком второй гармоники — голубого света!

* Ее можно вычислить следующим образом. Во-первых, заметим, что

Во-вторых, разложив подынтегральное выражение

в ряд, получим l/(1+x 2 )=l-x 2 +x 4 -x 6 +... . Интегрируя затем почленно этот ряд (от нуля до х), получаем arctgx:=l-х 3 /3+х 5 /5-x 7 /7+..., а поло­жив x=1, мы докажем использованный результат, поскольку

arctg1=p/4.

* В основе деления октавы на 12 ступеней лежит открытие Пифагора. Он брал струну, зажимал ее посредине и получал звук на октаву выше, нем звук незажатой струны. Затем половину струны он опять зажимал посредине и получал звук еще на октаву выше и т. д. Точно так же, за­жимая последовательно струну на 1 / 3 длины, он каждый раз получал звук выше на квинту. И вот оказалось, что 12 квинт почти точно уклады­ваются на интервале в 7 октав [т. е. 2 7 ~=( 3 / 2 ) 12 ]. Если же теперь от каждой квинты отложить целое число октав вверх и вниз, то каждая первона­чальная октава разделится на 12 частей. Так возник нифагорийский строй. Однако беда в том, что 12 квинт только приблизительно равны 7 октавам, поэтому в разных местах диапазона «лесенки» получались неровные. При развитии мелодии эти неточности накапливались и возникали про­тивные уху интервалы, так называемые «волки», которые страшно досаж­дали музыкантам. Иногда дело доходило до курьезов. Рассказывают, что известный композитор Жак Рамо сумел так ловко извлекать из органа «волчьи» звуки, что однажды, желая отказаться от должности церковного органиста, привел своей «игрой» в ужас святых отцов и убедил их в своей «бесталанности». Много сил было потрачено на изгнание «волков». Этим, в частности, безуспешно занимались такие умы, как Кеплер и Эйлер. Однако сделать это удалось не физику и не математику, а органисту Анд­рею Веркмейстеру. Решение его гениально просто: он отказался от чистых квинт, укоротив их как раз настолько, чтобы дюжина вместилась в 7 октав, и несовместимое совместилось, а «волки» исчезли. Так возник современный темперированный строй.— Прим. ред.