Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук

Давление, вызываемое звуком нашей речи, очень мало по сравнению с атмосферным — только одна миллионная часть или что-то в этом роде. Но при изменении давления на величину порядка 1 атм скорость волны увеличивается примерно на 20% и «заострение» фронта волны происходит соответственно быстрее. В природе, по-видимому, ничего не протекает бесконечно быстро и то, что мы называем «резким» фронтом, на самом деле имеет все же небольшую толщину; он не бесконечно крут. Рас­стояние, на котором все это происходит,— порядка средней дли­ны свободного пробега молекулы, но на таких расстояниях вол­новое уравнение становится несправедливым, ведь при выводе его мы не учитываем молекулярной структуры газа.

Вернемся снова к фиг. 51.2. Мы видим, что кривизну легко объяснить, если понять, что давление вблизи вершины выше, чем вдали от нее, поэтому угол 0 здесь больше. Таким образом, кривизна возникла вследствие зависимости скорости от силы волны. Например, волна от взрыва атомной бомбы в течение некоторого времени движется гораздо быстрее звука, пока не отойдет достаточно далеко и в результате расплывания не бу­дет ослаблена в такой степени, что перепад давления станет ма­лым по сравнению с атмосферным. При этом скорость фронта приближается к скорости звука в газе, в котором он распро­страняется. (Скорость ударной волны всегда оказывается выше скорости звука в газе перед ней и ниже скорости звука в газе за ней. Таким образом, импульсы, идущие сзади, будут догонять фронт, но сам он движется в среде быстрее, чем нормальная скорость звукового сигнала. Поэтому только по звуку никто не в силах предсказать появление ударной волны, пока не ста­новится слишком поздно. Конечно, свет от взрыва бомбы виден раньше, но предугадать приход ударной волны невозможно, никакого звукового сигнала впереди нее нет.)

Накапливание волн — очень интересное явление, и в основ­ном причина его состоит в том, что после прохода одной волны скорость следующей за ней волны должна возрасти.

Рассмотрим еще один пример того же явления. Представьте себе длинный канал конечной ширины и глубины, заполнен­ный водой. Если с достаточной быстротой двигать вдоль канала поршень, то вода будет собираться перед ним, как снег перед снегоочистителем. Теперь вообразите ситуацию, подобную изображенной на фиг. 51.4, когда где-то в канале вдруг возни­кает скачок высоты уровня воды

Фиг. 51.4. Падение воды и водовороты.

Можно показать, что длинные волны в канале идут быстрее по глубокой воде, чем по мелкой. Поэтому любой новый толчок или какие-то иные нерегулярно­сти в энергии, поступающей от поршня, побегут вперед и собе­рутся на фронте волны. Теоретически мы снова в конце концов должны получить резкий фронт. Однако (см. фиг. 51.4) здесь возникают некоторые усложнения. Вы видите волну, идущую вверх по каналу, причем поршень находится где-то далеко с правой стороны канала. Сначала может показаться, что это хорошая волна, такая, какую и следует ожидать, но дальше она становится острее и острее, пока не произойдет то, что изображено на рисунке. Вода на поверхности начинает сильно бурлить и переливаться вниз, но, что самое существен­ное, край по-прежнему остается резким, и впереди него нет никакого возмущения.

В действительности волна на воде — вещь куда более слож­ная, чем звук. Однако для иллюстрации мы попытаемся проа­нализировать скорость так называемого высокого прилива в ка­нале. Дело не в том, что это очень важно для наших целей (ни­какого обобщения здесь не будет), это только иллюстрация того, как законы механики, которые мы хорошо знаем, способны объяснить подобное явление.

Вообразите на минуту, что поверхность воды имеет такой вид, как изображено на фиг. 51.5,а, и что на верхнем уровне h 2она движется со скоростью v, а фронт со скоростью u надви­гается на невозмущенную поверхность, высота которой h 1 . Мы хотим определить скорость, с которой движется фронт. За промежуток времени D t вертикальная плоскость, проходив­шая вначале через точку x 1 передвинется на расстояние v D t, т. е. от х 1 до х 2 , а фронт волны пройдет расстояние u D t.

Применим теперь законы сохранения вещества и импульса. Возьмем сначала первый из них: мы видим, что на единицу ши­рины канала количество вещества h 2 v D t, прошедшее мимо точки x 1(область, заштрихованная на фиг. 51.5,6), компенсируется другой заштрихованной областью, представляющей количество вещества (h 2- h 1 )u D t. Разделив на Dt, получим vh 2 =u(h 2 -h 1 ). Но этого еще недостаточно, так как, хотя нам известны h 1и h 2, мы еще не знаем ни u, ни v, а хотим найти обе величины.

Следующим шагом будет использование закона сохранения импульса. Мы еще не касались вопросов давления в воде и про­чей гидродинамики, но и так ясно, что давление в воде на какой-то глубине должно быть как раз достаточным, чтобы поддержи­вать столбик воды над этой глубиной. Следовательно, давление воды равно произведению плотности r на g и на глубину. Так как давление воды возрастает линейно с глубиной, то среднее давление на плоскость, проходящую, например, через точку х 1 , равно l / 2 r gh 2 , что также представляет среднюю силу на еди­ничную ширину и на единичную длину, толкающую плоскость к точке х 2 . Чтобы получить полную силу, давящую на воду сле­ва, мы должны еще раз умножить на h 2. С другой стороны, дав­ление на рассматриваемую область справа дает противоположно направленную силу, которая по тем же причинам равна l l 2 r gh 2 1 . Теперь мы должны приравнять эти силы к скорости изменения импульса. Таким образом, нам нужно выяснить, насколько в случае, изображенном на фиг. 51.5,6, импульс больше, чем в случае, показанном на фиг. 51.5,а.

Мы видим, что дополнительная масса, которая приобрела скорость v, равна просто rh 2u D t—rh 2v D t (на единицу ширины), а умножение ее на v дает дополнительный импульс, который должен быть приравнен к импульсу силы FDt:

(rh 2u D t-rh 2v D t)v=( 1/ 2r gh 2 2 - 1 / 2 r gh 2 1 }Dt.

Исключая из этого уравнения v подстановкой vh 2 =и(h 2 -h 1 ) и упрощая его, получаем окончательно u 2 =gh 2 (h 1 +h 2 )/2h 1 .

Если разность высот очень мала, так что h 1 и h 2 приблизи­тельно одинаковы, то скорость будет равна Ц gh. Как мы увидим позднее, это справедливо только при условии, что длина волны много больше глубины канала.