Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук

Фиг. 51.9. Волны, на глубокой воде образуются частицами, движущимися по окружности.

Обратите внимание на систематический сдвиг фазы от одной окружности к другой. Кок может при этом двигаться плавающий предмет?

Очень интересно определить скорость таких волн. Это дол­жно быть какой-то комбинацией плотности воды, ускорения силы тяжести, которая в данном случае является восстанавли­вающей силой, и, возможно, длины волны и глубины. Если мы рассмотрим случай бесконечной глубины, то скорость больше не будет зависеть от нее. Но какую бы формулу для фазовой скорости волн мы ни взяли, она должна содержать эти величины в такой комбинации, чтобы давать правильную размерность. Испробовав множество различных способов, мы найдем, что только одна комбинация g и l может дать нам размерность ско­рости, именно Ц gl, которая совсем не включает плотности. На самом деле эта формула для фазовой скорости не вполне точна, и полный анализ динамики, в который мы не будем входить, показывает, что все действительно получится так, как у нас, за исключением Ц2p , т . е.

v фаз=Цgl/2p (для волн «тяжести»).

Интересно, что длинные волны бегут быстрее коротких. Так что когда проходящая вдали моторная лодка создает волны, то после некоторого промежутка времени они достигнут берега, но сначала это будут редкие всплески, поскольку первыми приходят длинные волны. Затем приходящие волны становятся все короче и короче, ибо скорость падает как квадратный ко­рень из длины волны.

«Это же неверно,— может возразить кто-нибудь,— ведь чтобы делать такое утверждение, мы должны смотреть на групповую скорость». Правильно, конечно. Формула для фазо­вой скорости не говорит нам о том, что приходит первым; об этом может нам сказать только групповая скорость. Так что мы должны получить групповую скорость и мы сможем показать, что она равна половине фазовой скорости. Для этого нужно только вспомнить, что фазовая скорость ведет себя как квадрат­ный корень из длины волны. Так же, т. е. как квадратный ко­рень из длины волны, ведет себя и групповая скорость. Но как может групповая скорость быть вдвое меньше фазовой? Посмот­рите на группу волн, вызванных проходящей мимо лодкой, и проследите за каким-то определенным гребнем. Вы обнаружите, что он бежит вместе с группой, но постепенно становится все меньше и меньше, а дойдя до переднего фронта, совсем умирает. Но таинственным и непостижимым образом на смену ему с заднего фронта поднимается слабенькая волна и становится она все сильнее и сильнее. Короче говоря, по группе движутся вол­ны, тогда как сама группа движется вдвое медленнее этих волн.

Поскольку групповая и фазовая скорости не равны друг другу, то волны, вызванные движущимся объектом, будут уже не просто коническими, а гораздо более сложными и интерес­ными. Вы можете видеть это на фиг. 51.10, где показаны волны, вызванные движущейся по воде лодкой.

Фиг. 51.10. След про­шедшей моторной лодки.

Заметьте, что они сов­сем не похожи на то, что мы получали для звука (когда скорость не зависит от длины волны), где фронт волны был просто рас­пространяющимся в стороны конусом. Вместо него мы получили волны позади движущегося объекта, фронт которых перпенди­кулярен его движению, да еще движущиеся под другими угла­ми небольшие волны с боков. Всю эту картину движения волн в целом можно очень красиво воссоздать, зная только, что фа­зовая скорость пропорциональна квадратному корню из длины волны. Весь фокус заключается в том, что картина волн стацио­нарна относительно лодки (движущейся с постоянной скоро­стью); все другие виды волн отстанут от нее.

До сих пор мы рассматривали длинные волны, для которых восстанавливающей силой была сила тяжести. Но когда волны становятся очень короткими, то основной восстанавливающей силой оказывается капиллярное притяжение, т. е. энергия по­верхностного натяжения. Для волн поверхностного натяжения фазовая скорость равна

v фаз=Ц2pT/lr(для ряби),

где Т — поверхностное натяжение, а r — плотность. Здесь все наоборот: чем короче длина волн, тем большей оказывается фа­зовая скорость. Если же действуют и сила тяжести и капилляр­ная сила, как это обычно бывает, то мы получаем комби­нацию

где k=2p/l — волновое число. Как видите, скорость волн на воде — вещь действительно довольно сложная. На фиг. 51.11 показана фазовая скорость как функция длины волны.

Фиг. 51.11. График за­висимости фазовой ско­рости от длины волны для воды.

Она ве­лика для очень коротких волн, велика для очень длинных волн, но между ними существует некоторая минимальная скорость распространения. Исходя из этой формулы, можно вычислить и групповую скорость: она оказывается равной 3/ 2фазовой ско­рости для ряби и 1/ 2фазовой скорости для волн «тяжести». Сле­ва от минимума групповая скорость больше фазовой, а справа групповая скорость меньше. С этим фактом связано несколько интересных явлений. Поскольку групповая скорость с умень­шением длины волны быстро увеличивается, то, если мы созда­дим какие-то возмущения, возникнут волны соответствующей длины, которые идут с минимальной скоростью, а впереди них с большей скоростью побегут короткие и очень длинные волны. В любом водоеме можно легко увидеть очень короткие волны, а вот длинные волны наблюдать труднее.

Таким образом, мы убедились, что рябь, которая столь ча­сто используется для иллюстрации простых волн, на самом деле гораздо сложнее и интереснее: у нее нет резкого волнового фронта, как в случае простых волн, подобных звуку или свету. Основная волна, которая вырывается вперед, состоит из мелкой ряби. Благодаря дисперсии резкое возмущение поверхности воды не приводит к резкой волне. Первыми все равно идут очень мелкие волны. Во всяком случае, когда по воде с некоторой скоростью движется объект, то возникает очень сложная кар­тина, поскольку разные волны идут с разной скоростью. Взяв корыто с водой, можно легко продемонстрировать, что самыми быстрыми будут мелкие капиллярные волны, а уже за ними идут более крупные. Кроме того, наклонив корыто, можно увидеть, что там, где меньше глубина, меньше и скорость. Если волна идет под каким-то углом к линии максимального наклона, то она заворачивает в сторону этой линии. Таким способом можно продемонстрировать множество различных вещей и прийти к заключению, что волны на воде — куда более сложная вещь, чем волны в воздухе.