Ричард Фейнман - 4. Кинетика. Теплота. Звук

Чему равен средний квадратичный угол качаний зеркаль­ца? Предположим, что мы определили период собственных колебаний зеркальца, стукнув слегка по одной его стороне и наблюдая, как долго будет оно качаться взад и вперед, и пусть нам также известен момент инерции /. Формулу для кинети­ческой энергии вращения мы знаем, это равенство (19.8): Т = 1/ 2Iw 2. А потенциальная энергия пропорциональна квад­рату угла отклонения, т. е. V = l / 2 a q 2 . Но если мы знаем пе­риод колебаний t 0 и можем вычислить собственную частоту w 0= 2p/t 0 , то можно и потенциальную энергию записать в виде V= 1 / 2/Iw 2 0q 2. Мы знаем, что средняя кинетическая энергия равна l / 2 kT', но поскольку перед нами гармонический осцил­лятор, то средняя потенциальная энергия также равна 1/ 2kT. Следовательно,

Таким образом мы можем рассчитать колебания зеркальца гальванометра и тем самым найти предел точности нашего ин­струмента. Если нам нужно уменьшить колебания, то следует охладить зеркальце. Но здесь возникает интересный вопрос — в каком месте его охладить? Все зависит от того, откуда оно получает больше «пинков». Если в колебаниях повинна кварце­вая нить, то охлаждать нужно ее верхний конец, если же зер­кальце находится в газовой среде и раскачивается в основном за счет соударений с молекулами газа, то лучше охладить газ. Итак, практически, если известно, почему происходит затуха­ние колебаний, то оказывается, что имеется всегда какой-то источник флуктуации; к этому вопросу мы еще вернемся.

Те же флуктуации работают, и довольно удивительным образом, в электрических цепях. Предположим, что мы пост­роили очень чувствительный, точный усилитель для какой-ни­будь определенной частоты и к его входу подключили резо­нансную цепь (фиг. 41.2), настроенную на эту же частоту, наподобие радиоприемника, только получше.

Фиг. 41,2. Резонансная цепь с большим Q.

а — реальная цепь при температуре T; б — искусственная цепь с идеаль­ным (бесшумным) сопротивлением и «генератором шума».

Предположим, что мы захотели как можно точнее изучить флуктуации, для этого мы сняли напряжение, скажем, с индуктивности и подали его на усилитель. Конечно, во всякой цепи такого рода имеются некоторые потери. Это не идеальная резонансная цепь, но все же очень хорошая цепь, и обладает она малым сопротивле­нием (на схеме сопротивление показано, надо только помнить, что оно очень мало). А теперь мы хотим узнать, как велики флуктуации падения напряжения на индуктивности? Ответ: Нам известно, что «кинетическая энергия», запасенная катушкой резонансной цепи, равна 1/ 2 LI 2 (см. гл. 25). Поэтому среднее значение 1/ 2 LI 2 равно 1/ 2 kT, это дает нам среднее квадратич­ное значение тока, а отсюда можно определить и среднее квад­ратичное значение напряжения. Если мы хотим знать падение напряжения на индуктивности, нам пригодится формула , тогда средний квадрат модуля падения напряжения на индуктивности равен 2 L> = L 2w 2 02>, a полагая 1/ 2L2> = 1/ 2 kT, получаем

2 L >=L w 2 0 kT. ... (41.2)

Итак, теперь мы можем рассчитать контур и предсказать, каким в нем будет так называемый шум Джонсона, т. е. шум, свя­занный с тепловыми флуктуациями!

Но откуда же эти флуктуации берутся? А все из-за сопро­тивления, точнее говоря, в результате пляски электронов в сопротивлении. Ведь они находятся в тепловом равновесии с остальным материалом сопротивления, а это приводит к флуктуациям плотности электронов. Таким образом они по­рождают крошечные электрические поля, управляющие резо­нансной цепью.

Инженеры-электрики объясняют все это иначе. Физичес­ки источником шумов служит сопротивление. Однако можно заменить реальную цепь с честным сопротивлением, вызываю­щим шумы, фиктивной цепью, содержащей маленький генератор, который якобы порождает шумы, а сопротивление теперь будет идеальным — оно уже не шумит. Все шумы теперь исходят от фиктивного генератора. Итак, если нам известны харак­теристики шума, порождаемого сопротивлением, и у нас для этого имеется подходящая формула, то можно рассчитать, как цепь реагирует на этот шум. Следовательно, нам нужна формула для шумовых флуктуации. Сопротивление одинаково хорошо порождает шумы всех частот, поскольку оно само от­нюдь не резонатор. Резонансная цепь, конечно, «слышит» лишь часть этого шума вблизи определенной частоты, а в соп­ротивлении заключено много и других частот. Силу генера­тора можно описать таким образом: выделяемая на сопро­тивлении средняя мощность, если оно непосредственно сое­динено с генератором шума, равна 2>/R, где Е — снимаемое с генератора напряжение. Но теперь мы хотим знать подроб­нее о распределении мощности по частотам. Каждой определен­ной частоте соответствует очень малая мощность. Пусть P(w)dw — мощность, которую генератор посылает сопротивле­нию в интервале частот d w . Тогда можно доказать (мы дока­жем это для другого случая, но математика и там и тут оди­накова), что выделяемая мощность равна

P( w )d w =2/pkTd w(41.3) я, таким образом, не зависит от сопротивления.

§ 2. Тепловое равновесие излучения

Мы приступаем к обсуждению более сложной и интересной теоремы, суть которой состоит в следующем. Предположим, что унас имеется заряженный осциллятор, вроде того, о котором мы говорили, когда речь шла о свете. Пусть это будет электрон, колеблющийся в атоме вверх и вниз. А раз он колеблется, то излучает свет. Предположим теперь, что этот осциллятор попал в сильно разреженный газ, состоящий из других атомов, и время от времени эти атомы с ним сталкиваются. Когда в конце концов наступит равновесие, осциллятор приобретает такую энергию, что кинетическая энергия колебаний будет равна l / 2 kT, а поскольку это гармонический осциллятор, то полная энергия движения станет равной kT.

Это, конечно, неверно, потому что осциллятор несет электри­ческий заряд, а поскольку он обладает энергией kТ, то, качаясь вверх и вниз, он излучает свет. Поэтому невозможно получить равновесие только самого вещества без того, чтобы заряды не излучали свет, а когда свет излучается, утекает энергия, ос­циллятор со временем растрачивает энергию kT, а окружающий газ, сталкивающийся с осциллятором, постепенно остывает. Именно таким образом остывает за ночь натопленная с вечера печка, выпуская все тепло на воздух. Прыгающие в ее кирпи­чах атомы заряжены и непрерывно излучают, а в результате этого излучения танец атомов постепенно замедляется.