Ричард Фейнман - 3. Излучение. Волны. Кванты

Покажем теперь, что из принципа наименьшего времени вытекает закон Снелла для преломления. Мы должны, ко­нечно, что-то предположить относительно скорости света в воде. Будем считать, что скорость света в воде меньше скорости света в воздухе, и отношение второй скорости к первой обозначим через n.

Наша задача по-прежнему состоит в том, чтобы на фиг. 26.4 попасть из точки А в В за наименьшее время. Чтобы убедиться, что путь по прямой здесь не самый быстрый, представим себе следующую ситуацию: хорошенькая девушка падает из лодки в воду в точке В и кричит, просит спасти. Линия X — это берег. Вы находитесь на суше в точке А и видите, что произошло, вы умеете плавать и умеете бегать. Но бегаете вы быстрее, чем пла­ваете. Что вам делать? Бежать по прямой к берегу? (Конечно!) Но, немного поразмыслив, вы поймете, что выгоднее пробежать несколько дольше по берегу, чтобы уменьшить ваш путь в воде, потому что в воде вы будете двигаться гораздо медленнее. (Рас­суждая таким образом, лучше всего было бы заранее тщательно вычислить путь!) Во всяком случае, давайте попытаемся пока­зать, что окончательное решение задачи — это путь АСВ, который занимает из всех возможных наименьшее время. Если этот путь кратчайший по времени, то любой другой ока­жется длиннее. Поэтому если отложить на графике зависимость времени от положения точки X, получится кривая, похожая на изображенную на фиг. 26.5, где точка С соответствует наи­меньшему времени.

Фиг. 26.4. Иллюстрация прин­ципа Ферма для случая преломле­ния.

Фиг. 26.5 Наименьшее время по­лучается при выборе точки С.

Соседние точки приводят примерно к такому же времени прохождения.

Это означает, что для точек X вблизи С в пер­вом приближении время прохождения практически одинаковое, так как в точке С наклон кривой равен нулю. Итак, наш способ найти искомый путь сводится к требованию, чтобы при неболь­шом изменении положения точки время прохождения не меня­лось. (Конечно, возникнут бесконечно малые изменения времени второго порядка, и они должны быть положительными при сме­щении в обе стороны от точки С.) Возьмем близкую точку X, вычислим время прохождения на пути АХВ и сравним его со старым путем АСЕ. Сделать это очень просто. Конечно, нужно еще, чтобы разность времен стремилась к нулю для малых рас­стояний ХС. Обратимся сначала к пути по суше. Если мы опус­тим перпендикуляр ЕХ, то легко увидим, что наш путь стал ко­роче на длину ЕС. Можно сказать, что это расстояние мы выигра­ли. С другой стороны, опустив перпендикуляр CF, мы увидим, что в воде приходится проплыть дополнительное расстояние XF. В этом мы проиграли. С точки зрения экономии времени выигры­вается время на отрезке ЕС, но теряется на отрезке XF. Эти два интервала времени должны быть равны, так как в первом приб­лижении полное время прохождения не меняется. Предположив, что скорость в воде равна скорости в воздухе, умноженной на 1/n получим

ЕС=nXF .(26.3)

Поэтому мы видим, что если нам удалось правильно выбрать точку С (XCsinEXC =nXCsinXCF) или мы сократили на длину общей гипотенузы ХС и заметили, что

EXC=ECN=q iи XCF=BCN'=q r,

то мы получим

sinq i=nsinq r. (26.4)

Отсюда видно, что при отношении скоростей, равном n, свет должен двигаться из одной точки в другую по такому пути, что­бы отношение синусов q it- и q r было равно отношению скоростей в двух средах.

§ 4. Применения принципа Ферма

Рассмотрим теперь некоторые интересные следствия прин­ципа наименьшего времени. Первое из них — принцип обрати­мости. Мы уже нашли путь из A в В,требующий наименьшего времени; пойдем теперь в обратном направлении (считая, что скорость света не зависит от направления). Наименьшему времени отвечает та же траектория, и, следовательно, если свет распространяется по некоторому пути в одном направлении, он будет двигаться по этому пути и в обратном направлении.

Другой интересный пример! На пути света под некоторым уг­лом поставлена четырехгранная стеклянная призма с параллель­ными гранями. Свет проходит из точки А в В и, встретив на сво­ем пути призму (фиг. 26.6), отклоняется, причем длительность пути в призме уменьшается за счет изменения наклона траекто­рии, а путь в воздухе немного удлиняется. Участки траектории вне призмы оказываются параллельными друг другу, потому что углы входа и выхода из призмы одинаковы.

Третье интересное явление состоит в том, что когда мы смот­рим на заходящее солнце, то оно на самом деле находится уже ниже линии горизонта! Нам кажется, что солнце еще над гори­зонтом, а оно фактически уже зашло (фиг. 26.7). Дело здесь в следующем. Земная атмосфера вверху разрежена, а в нижних слоях более плотная. Свет распространяется в воздухе медлен­нее, чем в вакууме, и поэтому солнечные лучи достигнут какой-то точки за горизонтом быстрее, если будут двигаться не по прямой линии, а по траектории с более крутым наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая таким образом свой путь в этих слоях.

Еще пример того же рода — мираж, который часто на­блюдают путешественники на раскаленных солнцем дорогах. Они видят на дороге «воду», а когда подъезжают туда, то кру­гом оказывается все сухо, как в пустыне! Сущность явления в следующем. То, что мы видим в этом случае, это «отраженный» дорогой свет. На фиг. 26.8 показано, как падающий на дорогу луч света попадает к нам в глаз. Почему? Воздух сильно раска­лен над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий воздух, расширяясь, становится более разреженным, а потому и скорость света в нем больше, чем в холодном.

Фиг. 26.6. Луч света, выходя­щий из прозрачной пластины, параллелен падающему лучу.

Фиг. 26.7. У горизонта Солнце кажется на 1 / 2 градуса выше, чем на самом деле.

Другими словами, свет быстрее проходит в теплых слоях, чем в холодных. Поэтому свет проходит не по прямой, а идет по траектории с наименьшим временем, заворачивая для этого в теплые слои воздуха, чтобы сократить время. Таким образом, свет идет по кривой.

И еще один пример. Представим себе такую ситуацию, когда весь свет, испускаемый в точке Р, собирается обратно в другую точку Р' (фиг. 26.9). Это означает, конечно, что свет может попасть из точки Р в Р' по прямой линии. Это правильно. Но как устроить так, чтобы свет, идущий от Р к Q, тоже попал в Р '? Мы хотим собрать весь свет снова в одной точке, которую называют фокусом. Как это сделать? Поскольку свет всегда выбирает путь с наименьшим временем, то наверняка он не пойдет по другим предложенным нами путям. Единственный способ сделать целый ряд близлежащих траекторий приемлемы­ми для света — это устроить так, чтобы для всех время прохож­дения было точно одинаковым! В противном случае свет пойдет по траектории, требующей минимального времени. Поэтому задача построения фокусирующей системы сводится просто к созданию устройства, в котором свет тратит на всех путях оди­наковое время!