Александр Филиппов - Многоликий солитон

Кроме того, величина v , полученная Ньютоном, сильно расходилась с наблюдаемым значением *). Это было известно Ньютону, но его объяснение этого расхождения нельзя признать ни понятным, ни убедительным. Эта трудность только усилилась после опытов Хладни, который выяснил, что формула Ньютона сильно расходится с опытом и для других газов. Bычислим по формуле Ньютона скорость v для воздуха. Так как р /ρ = гT , где г — газовая постоянная, а Т — температура, то для воздуха при Т = 273 К = 0 0С получаем v 280 м/с вместо 332 м/с.

*) Первое точное измерение скорости звука в воздухе было сделано в коллективной работе членов Парижской академии наук в 1738 г. Измерялось время, за которое звук пушечного выстрела проходит 30 км. Чтобы исключить влияние ветра, выстрелы производились одновременно из двух пушек, удаленных друг от друга на 30 км.

Правильное объяснение этому расхождению нашел Лаплас, заметивший, что при прохождении звуковой волны температура воздуха в местах сгущения и разрежения различна, и законом Бойля—Мариотта пользоваться нельзя. Вместо этого Лаплас предположил, что изменения состояния газа в звуковой волне происходят столь быстро, что тепло не успевает передаваться от нагревшихся сжатых участков к охладившимся разреженным, т. е. процесс происходит адиабатически **). Правильность его объяснения оспаривалась еще лет тридцать. Тем не менее общая теория волновых процессов уже в начале века твердо стояла на ногах и быстро завоевывала новые области для своих приложений.

**) См. книгу: Смородинский Я. А. Температура. — 2-e изд.— М.: Наука, 1987. — Библиотечка «Квант», вып. 12.

Особенно важно это было для волновой теории света. В работах Френеля волновая теория была настолько основательно разработана, что успешно объясняла не только явления, известные до ее победы, но и подсказывала новые. Единственная неудача постигла волновую теорию в объяснении явлений дисперсии света . Как и в теории звука, в оптике Френеля скорость волны могла изменяться в разных средах, но зависимости скорости от длины волны в одной среде не получалось. Пуассон даже после описанных в ч. 1 опытов сомневался в правильности теории Френеля. Его главное возражение как раз было связано с проблемой дисперсии. В ответе Пуассону Френель указал на молекулярную структуру вещества как на возможный источник дисперсии. К сожалению, ранняя смерть не позволила Френелю развить эту идею, но ее подхватил Коши.

Связь дисперсии с атомной структурой проще всего понять в нашей пружинной модели. Хотя при этом речь идет о звуковых, а не о световых волнах, суть дела одна и та же. Эту мысль и развил Коши. Найдем вслед за ним дисперсионную формулу для волн в цепочке «атомов», соединенных пружинками. Вспомнив то, что мы знаем о связи дискретной цепочки со сплошным стержнем, попробуем сразу написать решение всех уравнений (5.8) в виде бегущей волны ( ):

Если, как это делалось раньше, заменить nα на х и y n( t ) на y n( t , х ), то получится знакомая синусоидальная бегущая волна. Ее скорость v определяется из условия постоянства фазы (ω t - 2π х /λ). Поэтому скорость v называют фазовой скоростью . Если двигаться со скоростью v , то волна будет казаться неподвижной.

Так как = -ω 2 y n, то из (5.8) следует простое уравнение

С помощью известной формулы для преобразования суммы синусов двух углов в произведение легко найти, что для синусоидальной волны y n+1 + y n-1= .

Подставляя это в уравнение (5.15), легко увидеть, что оно выполнено сразу для всех n , если

Это и есть дисперсионная формула Коши. Если длина волны много больше расстояния между атомами, т. е. , то sin (π α /λ) π α /λ и ω 2πω 0( α /λ). При этом дисперсия исчезает, так как скорость не зависит от λ: v (λ) = ωλ/2π α ω 0= = v . Этот результат мы уже получили раньше при переходе к «непрерывному» пределу (см. формулу (5.14)). Если длина волны сравнима с расстоянием между атомами, то скорость зависит от λ:

С уменьшением λ она уменьшается. Заметим, что нет смысла рассматривать длины волн, меньшие 2 α . Понять это легко, если вспомнить, что наблюдать мы можем лишь движения частиц, а не мысленно проведенные через их отклонения синусоиды (см. рис. 5.5). С учетом этого ограничения скорость убывает при уменьшении длины волны от значения v до значения (2 v /π).

Дисперсионную формулу (5.16) можно получить и из найденного нами раньше выражения для частот стоячих волн в цепочке конечной длины l (см. (5.9)). Для этого заметим, что длина волны в моде с номером М равна λ М = 2(N + 1) α / М = 2 l / М , где М = 1, ..., N . Дисперсии не было бы, если бы соответствующие частоты ω М были пропорциональны М . Как мы знаем, такой пропорциональности для больших М нет. Отсюда и возникает зависимость скорости v от λ при малых длинах волн и больших частотах. Выражая правую часть формулы (5.9) через λ М , получаем соотношение Коши (5.16) между ω М и λ М .

Плавные синусоидальные кривые, огибающие стоячие волны (5.7), можно получить, заменив в формуле (5.7) nα на х :

Это выражение описывает и стоячие волны в упругом стержне. При этом λ М принимает значения λ М = 2 l/M , где M может неограниченно возрастать ( М = 1, 2, 3, ...). Значения частот получаются из дисперсионной формулы (5.16), если заменить в ней sin (π α /λ) на π α /λ (вспомните, что в пределе непрерывной среды α → 0):