Александр Филиппов - Многоликий солитон

то легко найти, что

у ( t, х ) = sin (2π х /λ) cos (2π vt ).

В общем случае, если заданы начальные значения отклонений и скоростей всех точек струны, т. е. значения у и при t = 0 и всех значениях х , то можно найти вид функций f и g при всех значениях аргументов и тем самым определить все дальнейшее движение струны. Точно так же по начальным отклонениям и скоростям двух грузиков определялись неизвестные параметры А 1, А 2, t 1, t 2 в формуле (5.6); только теперь вместо неизвестных параметров определяются неизвестные функции f и g .

Мы еще не раз встретимся с конкретными применениями решения Д'Аламбера, а сейчас лишь отметим, что именно оно и вынудило Эйлера и Лагранжа отказаться от принципа суперпозиции Даниила Бернулли. Действительно, согласно этому принципу общее движение струны можно было бы представить как сумму (суперпозицию) гармонических синусоидальных движений, а это означало бы, что произвольную функцию можно представить в виде суммы тригонометрических функций. Такая возможность казалась Эйлеру и Лагранжу совершенно невероятной. Поэтому они придерживались мнения, что принцип суперпозиции хорош для систем из конечного числа материальных точек, но неприменим к таким «сплошным» объектам, как струна.

Разрешить многолетние споры вокруг этой проблемы сумел лишь Фурье в 1807 г., который показал, что произвольную функцию, определенную на конечном отрезке, действительно можно представить в виде бесконечной суммы тригонометрических функций. Это обобщение разложения на моды носит название ряда Фурье . Любопытно, что при доказательстве своей фундаментальной теоремы Фурье в наибольшей степени опирался на исследования Эйлера и Лагранжа. Отрицание Лагранжем принципа суперпозиции кажется тем более удивительным, что именно он первым ясно установил связь между колебаниями цепочки частиц и движениями струны.

Пора, видимо, написать это уравнение *). До сих пор оно было чем-то вроде таинственного персонажа в пьесе, которого все боятся, но никто не видел, и можно подумать, что это уравнение окажется очень сложным. На самом деле несложно догадаться, что уравнение должно быть очень простым, если у него так просто выглядит общее решение. В чем же состоит необычайная простота решения Д'Аламбера? Она заключается в том, что решение выражено через произвольные функции f и g , но каждая из них реально зависит не от координаты и времени, а от простейшей их линейной комбинации. Мы можем просто нарисовать графики функций f ( x ) и g ( x ) и двигать их равномерно в противоположных направлениях оси х . Сумма таких функций и будет в каждый момент времени изображать решение Д'Аламбера.

*) для понимания дальнейшего знать это уравнение полезно, но не обязательно. Вполне достаточно освоиться с бегущими волнами Д'Аламбера (5.10).

Это легко описать математически. Сначала найдем уравнение для волны, бегущей направо. Вспоминая определение производной получаем

Выбирая Δx = - v Δ t , находим, что . Точно так же можно убедиться, что . Эти уравнения описывают волны, которые могут распространяться лишь в одну сторону. Такие уравнения полезны, если мы хотим описать распространение волны горения или нервного импульса. Для того чтобы найти уравнение, описывающее волны, бегущие в двух направлениях, проще всего поступить так. Заметим, что f и f' также зависят только от х - vt , и поэтому обе функции удовлетворяют тому же уравнению, что и f . Исключив смешанную производную f' , легко найти, что . Точно так же убеждаемся, что . Так как операция дифференцирования линейна, то отсюда следует, что у = f + g удовлетворяет уравнению

Это и есть волновое уравнение Д'Аламбера. Мы получили его не из физической модели, а просто показали, что сумма любых двух функций f ( х - vt ) и g ( x + vt ) удовлетворяет этому уравнению. Ссылаясь на авторитет Д'Аламбера, мы утверждаем и обратное: всякую функцию у ( t, х ), производные которой по времени и координате удовлетворяют соотношению (5.11), можно представить как сумму двух таких функций.

Это простое уравнение и его обобщения на случай функций, зависящих от нескольких координат, играют такую же роль в физике непрерывных систем, как уравнение движения простого линейного маятника в механике материальной точки (в новых обозначениях оно записывается в виде ). Удивительно, что переход от одной точки к такому бесконечно более сложному объекту, как струна, «состоящая» из бесконечного числа точек, привел к столь простой теории. Удивительно также необычайное число приложений волнового уравнения — от волн в «океанах воды, воздуха и эфира», как сказал бы Рассел, — до волн, описывающих элементарные частицы.

В наше время волновое уравнение стало настолько привычным, что его эффективности никто уже не удивляется. Однако если попытаться мысленно охватить все, что было сделано с помощью этого уравнения, вообразить, какое богатство явлений природы скрывается за столь простой формулой, то эпитеты «удивительное» или «необычайное» не покажутся не уместными. Один выдающийся современный физик как-то написал популярную статью «О непостижимой эффективности математики в естественных науках». В эффективности волнового уравнения, конечно, есть что-то непостижимое, что бы ни говорили люди, которые умеют объяснить все.

Вернемся, однако, к «суровой прозе», воплощенной в уравнении (5.8). Оно связано не с близкой музам струной, а с прозаическими «грузиками на пружинках», да и выглядит куда менее элегантно, чем волновое уравнение. Тем не менее эти уравнения тесно связаны друг с другом. Это не удивительно, если наша (т. е. ньютонова) «грузопружинная» модель может дать разумное приближенное описание волн в сплошных средах. Первым это установил в 1754 г. все тот же неутомимый Лагранж, но окончательной ясности добился лишь Коши (1830 г.).