Григорий Гутнер - Философия. Античные мыслители

Такое число пифагорейцы называли квадратным. Ясно, что не только д обладает такой структурой, а всякое число, полученное умножением целого числа на себя. Мы и сейчас называем эти числа полными квадратами. Посмотрим на них еще внимательней. Для начала, не прибегая к графическому представлению, укажем одно интересное свойство полных квадратов:

4 = 2 2= 1 + 3

9 = 3 2= 1 + 3 + 5

16 = 4 2= 1 + 3 + 5 + 7

25 = 5 2= 1 + 3 + 5 + 7+9

36 = 6 2= 1 + 3 + 5 + 7+9 + 11

Обнаруживается интересная связь между квадратными и нечетными числами. Каждый квадрат есть сумма последовательных нечетных чисел. Пока что, впрочем, это остается лишь эмпирическим наблюдением. Доказательство этого свойства легко получается, если прибегнуть к пифагорейским «фигурным» числам. Заметим только, что всякое нечетное число представимо так:

Такое представление получило название «гномон».

Теперь мы можем легко убедиться, что прибавление 3 к 1 изображается как наложение соответствующего гномона на единицу, а каждое последующее прибавление нечетного числа к полному квадрату – наложение соответствующего гномона на этот квадрат. Это и есть требуемое доказательство. Оно в буквальном смысле очевидно, т. е. видно глазами, благодаря выявлению структуры квадратного числа. Последнее оказывается составленным из гномонов, т. е. из последовательных нечетных чисел.

Рис. 4.Квадрат, составленный из гномонов

Попробуем сделать вывод из этого исследования. Наше понимание числа становится более богатым, знание более ясным. Если говорить о числе 9, с которого мы начинали, то в нем выделяется достаточно сложная структура. Оно предстает как целое, составляемое разными способами из разных частей. На примере квадратных чисел мы можем видеть определенный ход познающей мысли. Углубление нашего знания происходит так, что от изначально неструктурированного (или малоструктурированного) целого, мы идем к большей детализации, делая понимание более определенным. Указанный ход мысли имеет три аспекта. Первый аспект – конструктивный. Рассуждая о свойствах чисел, мы конструируем эти числа, производим последовательные операции по определенным правилам, собирая целое из частей. Второй аспект – описательный, или «логосный». Каждое наше действие выражается в языке, обозначается словом. Наконец, третий аспект – созерцание, т. е. непосредственное ви́дение целого, устроенного определенным образом. Этот последний аспект наиболее важен. Именно в таком усмотрении целого и состоит знание. В нем каждый шаг конструктивной процедуры получает свое окончательное обоснование. В противном случае конструирование было бы слепым, бесцельным. Кроме того, в целом, схваченном единым взглядом, оказываются запечатлены все шаги конструктивной процедуры. Целое, полученное в результате конструирования, как будто заранее предопределяет ее. Будучи более поздним в порядке возникновения, оно предшествует по сути. В самом деле, квадратное число, разделенное на гномоны, содержит в себе всю процедуру последовательного наложения. Точно также чертеж удвоенного квадрата, приведенный нами в разделе о геометрии, дает понимание всей процедуры доказательства соответствующей теоремы.

Однако такое целостное усмотрение невозможно выразить в слове. Логосный аспект понимания неизбежно связан с конструктивным. Если мы попробуем выразить словами наше ви́дение целого, то вынуждены будем последовательно описывать связь его частей, т. е. шаг за шагом воспроизводить конструктивную процедуру.

1. Опишите в общем виде связь понятий предела, беспредельного и гармонии.

2. Как понятия предела, беспредельного и гармонии используются в пифагорейской теории музыки и в космологии?

3. Почему познаваемо только то, что сочетает в себе предел и беспредельное?

4. В чем состоит идея соизмеримости? Как проявляется она в геометрии?

5. Почему в пифагорейской науке число является образцом (моделью) всего сущего?

Атомизм, связанный с именами Левкиппа и Демокрита, также (как и учение пифагорейцев) предлагает своего рода альтернативу теории элеатов, в которой, напомним, бытие и небытие рассматривается как контрадикторная пара. В атомизме, как и у пифагорейцев, это противоположности контрарные, между ними предполагается нечто третье, представляющее собой их соединение. У пифагорейцев, как мы видели, такой парой противоположностей выступают предел и беспредельное, которые также можно интерпретировать как точку и континуум. Атомизм предлагает альтернативу этому взгляду на начала, в рамках которой возникает более «физичное» представление о реальности, по сравнению с математическим космосом пифагорейцев [49] Довольно подробное сопоставление пифагорейской и атомистической теорий сделано в книге: [Гайденко]. . Подобно многим своим предшественникам, они ищут исключительно «материальные начала» всего существующего, но в качестве таких начал полагают не какую-либо из стихий, а атомы (т. е. малые, невидимые и неделимые тела) и пустоту. Этот взгляд передает, например, следующее свидетельство Плутарха:

Что говорит Демокрит? Субстанции, беспредельные по числу, неделимые и не имеющие различий, кроме того, не воздействующие на других и не поддающиеся воздействию, носятся, рассеянные в пустоте. Когда же они приближаются друг к другу или наскакивают или зацепляются друг за друга, то из этих сборищ атомов одно кажется водой, другое – огнем, третье – растением, четвертое – человеком [50] Цит. по: [Гайденко, 67]. .

Таким образом, видимые вещи представляют собой нечто среднее, смешение или соединение двух противоположных начал: атомов и пустоты.

Вернемся, однако, к полемике атомистов с элеатами. Приведем, прежде всего, весьма яркое свидетельство Аристотеля:

Некоторые из древних думали, что сущее необходимо должно быть единым и неподвижным, потому что пустота есть не-сущее, а если нет отдельно существующей пустоты, то движение невозможно; с другой стороны, и множественности [вещей] не может быть, если нет того, что отделяет [предметы друг от друга]. Мысль, что Вселенная не непрерывна, а разделена на соприкасающиеся [предметы], совпадает, по их мнению, с утверждением, что она не едина, а множественна и что имеется пустота. Ведь если Вселенная повсюду делима, то она уже не едина, а потому и не множественна, а есть [только] пустота. Утверждение же, что она где-то делима, а где-то нет, похоже на выдумку. Ведь до каких пор и почему одна часть целого такова, [т. е. неделима] и заполнена, а другая разделена? Далее, точно так же им приходится отрицать, что существует движение. Исходя из таких доводов, они, не обращая внимания на [показания] чувств, пренебрегая ими и полагая, что надо следовать [только] разуму, объявили Вселенную единой, неподвижной, а некоторые и бесконечной. Ведь [всякая] граница соприкасалась бы с пустотой. Вот так и по таким причинам некоторые высказывались об истине. В рассуждениях это, по-видимому, выходит складно, однако на деле подобные взгляды близки к безумию… Левкипп же полагал, что у него есть доводы, которые согласуются с чувственным восприятием и не отрицают ни возникновения, ни уничтожения, ни движения, ни множественности существующего. В этом он согласился с [данными] явлений, а с теми, кто создал [учение] о едином, он пришел в согласие, говоря, что движение не может быть без пустоты, что пустота есть небытие и что ничто из существующего не есть небытие. Ведь подлинно сущее есть совершенно полное бытие. Но оно не едино, а [есть бесконечное] множество [частиц], невидимых из-за малости своих размеров. Они носятся в пустоте (ибо пустота существует) и, когда соединяются, вызывают возникновение, а когда разделяются – уничтожение (Аристотель. О возникновении и уничтожении. I.8).