Александр Волошинов - Математика и искусство

Пропорции фигурки младенца из трактата Дюрера 'Четыре книги о пропорциях'

Рисунки из 'Четырех книг о пропорциях' Дюрера. В своем трактате художник пытался найти совокупность геометрических преобразований, позволяющую охватить все многообразие человеческих лиц

Хотя Дюрер и отмечает, что таковых линий "можно сделать больше или меньше", большая тщательность в анализе фигуры человека современному читателю кажется просто немыслимой. Далее следуют промеры указанных линий, которые Даются для различных типов фигур: от мужских и женских фигур до фигурки младенца. Последняя дает ясное представление о том, сколь филигранными были геометрические построения Дюрера. В третьей книге трактата Дюрер показывает, "как можно изменять или искажать эти вышеописанные размеры... благодаря чему фигура становится неузнаваемой...". Предложенный Дюрером для этой цели "измените ль" представляет собой не что иное, как систему подобных треугольников. При этом Дюрер ясно осознает, что если пропорционально изменить все размеры фигуры, то ее вид останется прежним. И напротив, "если увеличить одни части и уменьшить другие, вид вещи станет иным".

Но если пропорции человеческой фигуры еще можно как-то классифицировать, то лицо человека никак не укладывалось у Дюрера в жесткие рамки пропорциональной сетки. Дюрер изобретает массу геометрических способов, которыми можно до неузнаваемости трансформировать изображение лица. Однако чем большим становится набор таких способов, тем яснее видно, что их число уходит в бесконечность. Дюрер-художник интуитивно осознает это: в его трактате не раз проскальзывает фраза о том, что "контуры человеческой фигуры нельзя начертить при помощи циркуля и линейки". И в то же время Дюрер-геометр упрямо продолжает поиски универсального геометрического метода в построении изображения человека.

На рисунке приведены некоторые из геометрических преобразований Дюрера. В первой строке слева показано исходное "правильное" лицо. Вторая строка слева представляет собой геометрические преобразования, которые в математике называются аффинными. Аффинное преобразование, или отображение,- это такое взаимно однозначное отображение, при котором параллельные прямые исходной плоскости (верхняя строка) переходят в параллельные прямые на плоскости отображения (вторая строка). Рисунки справа дают пример более сложных геометрических преобразований.

Глядя по прошествии 500 лет на геометрические построения Дюрера, хорошо видно, как в его исследованиях назрела потребность в точной науке о непрерывных процессах, науке о проявлении прерывного в непрерывном, науке о бесконечно большом числе бесконечно малых изменений. Такая наука родилась лишь через полтора века после Дюрера в трудах Ньютона и Лейбница, когда вместе с понятием производной "в математику вошли движение и диалектика" (Ф. Энгельс, т. 20, с. 573). Таким образом, творчество Дюрера еще раз убеждает нас в том, что пути науки и искусства связаны тысячами нитей. В геометрических поисках Дюрера мы видим, как одно из величайших завоеваний человеческой мысли — дифференциальное исчисление — зрело не только в лоне науки, но и в недрах искусства.

А как развивалась теория пропорций человека после Дюрера? В XVII веке движение вошло не только в науку, но и в искусство. На смену застывшим формам объекта, где царствовали покой и пропорция, в искусстве пробуждается интерес к изменчивому, как солнечный луч, субъекту, его настроению и мироощущению. Голландским люминаристам XVII века и французским импрессионистам XIX века уже не нужны были пропорции, ибо форма, объект растворялись в их полотнах в потоках воздуха, цвета и света. Искусство XX века еще более динамично: оно разрушает все каноны, часто не успевая провозгласить свои. Сегодня каждый художник стремится создать свой собственный канон, что порождает бесконечные споры об искусстве. Тот же "канон Ильи Глазунова" расколол наших современников на сторонников и противников, что, впрочем, не мешает и тем и другим в едином строю опоясывать Манеж с выставками художника.

Рисунок человека, выполненный ЭВМ в исследовательском отделе фирмы 'Боинг'. Система топологических правил, введенных в ЭВМ, позволяет нарисовать различные стадии движения человека

Так что же, теория пропорций стала отжившим рудиментом искусства? Автору так не кажется. Да, в своем "арифметическом" выражении теория пропорций себя исчерпала. Да, человек — мера всех вещей — настолько разнообразен, что его нельзя втиснуть в рамки дискретных канонов. Но пропорции живы, как жив и сам человек.

Теория пропорций сегодня не умерла, а лишь замерла в ожидании качественно нового скачка, в ожидании перехода от "арифметического" к "аналитическому" и даже "компьютерному" выражению. Почва для такого скачка сегодня созрела: есть современный математический аппарат, позволяющий описать контуры человека не "на уровне циркуля и линейки"; есть современные ЭВМ с их графопостроителями и дисплеями. Нужно содружество художников и математиков.

Примеры такого содружества есть. В исследовательском отделе американской фирмы "Боинг" выполнен рисунок на ЭВМ. Рисунок математически сконструирован по стандартным дюреровским пропорциям человека и ряду топологических правил, определяющих работу суставов и обеспечивающих непрерывность контура человека при его перемещениях. Таким образом, этот "машинный человечек" может двигаться, а сама ЭВМ может создать целый мультфильм. Однако эта увлекательная тема — искусство и ЭВМ — выходит за рамки нашей книги.

В первом наскальном изображении первый первобытный художник столкнулся с непростой математической задачей: отобразить трехмерный оригинал на двумерную плоскость "картины". Сама природа помогла ему в решении этой задачи, ибо, как заметил Леонардо да Винчи, "первая картина состояла из одной-единственной линии, которая окружала тень человека, отброшенную солнцем на стену".