Александр Волошинов - Математика и искусство

Итак, перспектива — это очень просто. Это чистая геометрия. Так что же, овладев геометрией перспективы, каждый может стать художником? К сожалению, нет. Математически точная перспектива — это еще не живопись, а только чертеж, хотя бы и такой прекрасный, как воспроизведенный здесь нами. Перспектива — это только геометрическая основа живописи. Но эта основа мертва, до тех пор пока художник не вложит в нее частичку своей души, не сделает ее живописью. При этом в чем-то можно и поступиться геометрией (что часто и делали художники) во имя жизни самого искусства живописи.

Как мы видели, построение перспективных изображений — дело довольно сложное. Поэтому наряду с разработкой строгих математических основ теории перспективы художники Возрождения старались дать своим собратьям и простые практические методы построения перспективы. Остроумное устройство для построения перспективы описывает А. Дюрер в трактате "Руководство к измерению". На стене закреплена проушина (это "глаз" художника), через которую продет шнур, идущий последовательно от точки к точке предмета (это "луч зрения"). Шнур проходит через раму, которая закрывается дверцей с натянутой на ней бумагой. Рама имеет подвижные нити — горизонтальную и вертикальную, позволяющие фиксировать координаты точки пересечения "луча зрения" с открытой рамой и переносить их на бумагу (для этого шнур убирают, закрывают дверцу с бумагой и отмечают на ней соответствующую точку). Свой метод Дюрер иллюстрирует прекрасной гравюрой, которая, несмотря на свое "техническое" содержание, сама является произведением искусства.

Перспективный чертеж церкви Покрова Богородицы на Нерли — геометрия, переходящая JB искусство

Как происходило дальнейшее развитие теории перспективы? Уже наше короткое знакомство с перспективой убеждает в том, что по перспективному изображению весьма трудно судить об истинных размерах предмета. Желая преодолеть эту трудность, математик и архитектор из Лиона Жерар Дезарг (1593-1662) в работе "Общий метод изображения предметов в перспективе" предложил использовать при построении перспективы метод координат. Изображение предмета предлагалось выполнять совместно с системой координат, относительно которой он ориентирован в пространстве. Метод Дезарга положил начало новому самостоятельному методу изображения, впоследствии названному аксонометрическим.

Дезарг обратил внимание и на другую особенность, возникающую при построении перспективы. Как мы видели, при центральном проектировании прямые, параллельные в горизонтальной плоскости Т, могут переходить в пересекающиеся прямые в картинной плоскости К (см. на с. 281). При этом точка схода параллельных прямых в картинной плоскости (точка О на рисунке) не имеет своего прообраза в плоскости Т. Желая избавиться от тацой особенности, Дезарг предложил дополнить обычную евклидову плоскость (плоскость с конечными точками) бесконечно удаленными точками , названными несобственными точками . Сколько бесконечно удаленных точек следовало ввести на плоскости Т? Очевидно, сколько есть направлений для параллельных прямых, так как естественно считать, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной бесконечно удаленной точке. Ясно, что таких точек бесконечно много. Совокупность бесконечно удаленных точек на плоскости Т образует бесконечно удаленную прямую, которая на картинной плоскости К переходит в линию горизонта. Плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, получила название расширенной, или проективной плоскости .

Далее Дезарг предложил стереть различия между собственными и несобственными элементами расширенной плоскости. Это значительно упрощало и обобщало многие рассуждения. В самом деле, в таком случае на расширенной плоскости исчезало само понятие параллельности прямых, так как параллельные прямые можно было считать пересекающимися в бесконечно удаленной точке. Но тогда автоматически устранялась и та особенность центрального проектирования, с которой все и началось: на расширенной плоскости пересекающиеся прямые (в том числе и пересекающиеся в несобственной точке, т. е. параллельные) проектировались в пересекающиеся. Таким образом, на расширенной плоскости центральные проекции дополнялись еще одним инвариантом (см. с. 275) — свойством прямых пересекаться.

Дюрер. Устройство для изображения предметов в перспективе. Гравюра. Ок. 1520

Поведение точек и прямых на расширенной плоскости управлялось лишь двумя аксиомами:

1) две различные точки на расширенной плоскости определяют прямую, и притом только одну, которой они принадлежат;

2) две различные прямые на расширенной плоскости определяют точку, и притом только одну, через которую они проходят.

Нет параллельных прямых! Нет знаменитого пятого постулата Евклида, который 2000 лет не давал покоя математикам! Геометрия расширенной плоскости — это геометрия точек, прямых и пересечений. Любая теорема о конфигурации этих элементов на расширенной плоскости оставалась справедливой и для любой центральной проекции этой конфигурации. Отсюда и пошло название новой геометрии — проективная геометрия.

Так, в недрах искусства живописи родилась новая наука — проективная геометрия — еще одно свидетельство тесных уз между наукой и искусством.

Новые идеи оказались чрезвычайно плодотворными и позволили Дезаргу получить ряд первоклассных результатов, в том числе и знаменитую теорему, носящую его имя. Однако идеи Дезарга опередили его время. Его сочинения отпугивали современников сжатостью изложения и многочисленностью новых обозначений. О Дезарге и его методе просто забыли...

Пути науки неисповедимы. Судьбе угодно было распорядиться так, чтобы ровно через 150 лет после смерти Дезарга его идеи возродил его же соотечественник. Однако произошло это не в родной Франции, а в далекой России, в глухом провинциальном городе Саратове...

1812 год. Ноябрь. Истерзанная Бородинским сражением, испуганная московскими пожарами, измученная отсутствием продовольствия и фуража, "великая армия" Наполеона отступала. Впрочем, не отступала — бежала. Так и не дождавшись ключей от Москвы, не сумев пробиться в южные районы России, император молча скакал по им же разоренной Смоленской дороге. Из-за бескормицы начался падеж лошадей, приходилось бросать артиллерию. Лошади, еще месяц назад оглашавшие ржанием гулкие соборы Московского Кремля, валялись теперь вдоль дороги с раздутыми боками. Непрерывные атаки отрядов атамана Платова и Дениса Давыдова повергали в паническое оцепенение некогда грозную гвардию. Крепчали морозы, и таяла на глазах "великая армия" Наполеона.