Александр Волошинов - Математика и искусство

3 (15) ноября авангарды генералов М. Милорадовича и Д. Голицына под местечком Красным близ Смоленска внезапно столкнулись с самим Наполеоном. Три дня шли кровопролитные бои, приведшие к разгрому лучших войск Наполеона. Французы потеряли 6 тысяч убитыми и ранеными, 26 тысяч пленными. Армия фактически была брошена императором, голодные и обмороженные солдаты прятались по лесам и далее спасались кто как может. Это была прелюдия к развязке на реке Березине.

Среди оставленных умирать на красном снегу под красным был и двадцатитрехлетний сублейтенант инженерных войск Жан Виктор Понселе. К счастью, дозорный отряд казаков заметил, что молодой "французик" еще дышит. Мундир офицера корпуса инженеров спас ему жизнь. Его подобрали и доставили в русский штаб для допроса.

Затем последовал мучительный 1000-верстный переход вглубь России. Почти пять месяцев нескончаемые вереницы полураздетых и полуживых военнопленных брели по бескрайним заснеженным равнинам. Морозы были так крепки, что ртуть застывала в термометрах. Люди падали и замерзали, не имея сил подняться. В марте 1813 г. Понселе с оставшимися в живых товарищами по несчастью оказался на берегах Волги, в губернском городе Саратове.

Русский народ всегда был велик состраданием. В обмороженных французах сердобольные волжане увидели не бывших врагов, а нынешних страдальцев. Их обогрели, откормили. Яркое апрельское солнце, молодость и жажда жизни победили. Они выжили.

Пленных не обременяли работами. Доподлинно известно лишь то, что они разбили прекрасную дубовую аллею у загородного дома саратовского губернатора. Возможно, один из немногих ныне уцелевших дубов был посажен руками Понселе. Со временем те, кто владел ремеслом, открыли лавки; другие подвизались на ниве воспитания: саратовские красавицы не упускали случая взять уроки модных парижских танцев. Жизнь вошла в свое русло.

Понселе занялся науками. Книг, разумеется, не было, письменные принадлежности — самые скудные. Поэтому прежде всего он восстановил по памяти все, что знал по математике,- от арифметики до математического анализа и высшей геометрии. Вокруг Понселе собирается кружок единомышленников — таких же, как и он, воспитанников Политехнической школы в Париже либо мечтающих выдержать туда экзамен, если когда-нибудь они снова увидят родную Францию. Занятия математикой скрашивали долгие вечера. Любопытно признание самого Понселе в том, что практически все сложные математические выкладки, которые он изучал, стерлись в его памяти, тогда как общие фундаментальные принципы остались в ней такими же ясными, как и много лет назад. Именно за этими занятиями математикой Понселе и пришел к своему гениальному творению — созданию проективной геометрии .

То, что в саратовском плену Понселе вспомнил прежде всего о геометрии, разумеется, не было случайным. Вся французская наука того времени была пронизана духом геометрии. Во главе Политехнической школы, которую Наполеон называл наседкой, несущей ему золотые яйца, стоял отец начертательной геометрии Гаспар Монж. Да и сам император оставил в геометрии несколько теорем, носящих его имя.

Саратовский плен оказался недолгим. 25 марта (6 апреля) 1814 г. Наполеон подписал в Фонтебло отречение от престола и был сослан на остров Эльба. А в сентябре того же года пленники вернулись на родину.

Понселе возвратился во Францию с семью записными книжками, хранившими его блестящие идеи. Именно "материал семи рукописных записных книжек, написанных в Саратове, в русском плену (с 1813 по 1814 г.), вместе с разными другими записями, старыми и новыми", и составил основу классического труда молодого офицера — "Трактат о проектных свойствах фигур". Первое издание трактата вышло в 1822 г. Второму изданию, вышедшему сорок лет спустя, была предпослана "апология" — описание давних приключений автора, имевших самый счастливый конец [36] Можно лишь с горечью констатировать, что сегодня нам ничего не известно о рукописи другого саратовского пленника, также написанной по памяти, но от которой нас отделяют не более 150, а менее 50 лет. Это рукопись "История развития мирового земледелия" Джордано Бруно XX века — Николая Вавилова, чья звезда так ярко взошла и столь трагически упала в Саратове. .

С выходом в свет трактата Понселе проективная геометрия стала самостоятельной наукой. Заслуга Понселе заключалась в выделении проективных свойств фигур (Понселе понимал их как свойства, которые остаются неизменными при любом центральном проектировании фигуры с одной плоскости на другую) в отдельный класс и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур. Помимо точек и прямых проективными свойствами oбладают, например, линии второго порядка (окружности, эллипсы, параболы и гиперболы). Понселе были сформулированы также принцип непрерывности и принцип двойственности. Первый принцип позволил рассмотреть всякого рода исключения и особые случаи с более широкой точки зрения (например, параллельность прямых как пересечение их в бесконечно удаленной точке) и дать геометрический аналог мнимым числам в геометрии. С помощью второго принципа стало возможным в два раза увеличивать число теорем проективной геометрии, не прилагая при этом никаких усилий.

Истинное значение проективных свойств геометрии было осознано лишь в конце XIХ века, когда немецкий математик Феликс Клейн (1849-1925) доказал, что обычная геометрия Евклида, и "необычная" геометрия Лобачевского могут быть ассмотрены в рамках проективной геометрии. Так было установлено кардинальное значение проективной геометрии по всей геометрии.

"Милостивые государи! Между приобретениями, сделанными в области геометрии за последние пятьдесят лет, развитие проективной геометрии занимает свое место". Этими словами в старинном немецком городке Эрлангене в 1872 г. Клейн начал свою знаменитую лекцию, вошедшую в историю математики как Эрлангенская программа". В этой лекции, изменившей взгляд на геометрию в целом, Клейн дал новое определение древней науки: геометрия есть учение об инвариантах той или иной группы преобразований. Выбирая по-разному группу преобразований, можно получать разные геометрии. Заметим, что проективная геометрия лежит в основе теории аэрофотосъемки и находит сегодня важнейшее приложение при обработке снимков из космоса.

Рассмотрим основные идеи проективной геометрии. Как отмечалось в конце предыдущей главы, Понселе возродил идею проективной плоскости Дезарга, т. е. плоскости, дополненной бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой. На проективной плоскости стираются различия между параллельными и пересекающимися прямыми, свойство прямых пересекаться становится инвариантным относительно операции проектирования, а поведение точек и прямых определяется двумя аксиомами (см. с. 285). Поскольку метрические свойства геометрических фигур (расстояния и углы) при проектировании не сохраняются (см. с. 275), а проективная геометрия изучает свойства фигур, инвариантные относительно операции проектирования, то метрические свойства в проективной геометрии не рассматриваются. Именно поэтому проективную геометрию называют "геометрией положения" или "геометрией линейки без делений".