Джо Боулер - Математическое мышление

Источник: www.youcubed.org.

Такие задания развивают чувство числа и математическое мышление, способствуют формированию новых связей между полушариями головного мозга. Полная противоположность этому подходу — фокус на зубрежке и скорости. Чем больше мы акцентируем внимание учеников на запоминании, тем меньше они стараются задумываться над числами и взаимосвязями между ними, зато развивают и используют чувство числа (Boaler, 2015). Некоторым запоминание математических фактов дается нелегко. Это можно только приветствовать — как свидетельство многообразия жизни и людей.

Представьте себе, как было бы ужасно, если бы учителя проводили тесты на знание математических фактов, а все ученики давали одинаковые ответы с одинаковой скоростью, будто роботы. В ходе одного из последних исследований ученые изучали мозг детей в то время, когда те запоминали математические факты; оказалось что некоторые запоминают факты гораздо лучше других. Это неудивительно: многие считают, что это характерно для более сильных или более умных учеников. Но исследователи обнаружили, что эти дети не относятся к числу сильных, не обладают тем, что исследователи описали как более высокий уровень математических способностей, или более высоким показателем IQ (Supekar et al., 2013). Единственное различие касалось области мозга под названием гиппокамп, которая отвечает за запоминание фактов. Он, как и другие области головного мозга, может увеличиваться в объеме в любом возрасте, как показывают результаты исследования с участием лондонских водителей такси Black Cab (Woollett & Maguire, 2011). Но разные ученики всегда будут запоминать факты с разной скоростью, и их математические способности тут ни при чем .

Во время последнего семинара по профессиональному развитию, который я проводила с учителями из Калифорнии, я рассказала, что в детстве не учила таблицу умножения наизусть. Я отметила, что это никогда не сдерживало меня в жизни, хотя я каждый день занимаюсь математикой. Когда я рассказала об этом перед аудиторией учителей, четыре женщины расплакались. Во время обеда одна из этих учительниц рассказала мне, всхлипывая, что мои слова изменили для нее всё. В детстве у нее были трудности с заучиванием таблицы умножения, и ее отец дал ей понять, что она в каком-то смысле неполноценна. Эта учительница всю свою жизнь считала, что с ней что-то не так. Она рассказала мне, что директор школы присутствовал на ее занятиях и она боялась, что ее «неполноценность» будет обнаружена. Акцент на тестах с ограничением времени и запоминании математических фактов причинил вред очень многим людям.

Чтобы успешно изучать язык и литературу, читать и понимать прозу или поэзию, необходимо запоминать значение множества слов. Но ни один ученик, изучающий язык и литературу, не скажет и не подумает, что весь процесс сводится к быстрому запоминанию слов и их восстановлению в памяти. Ведь мы изучаем слова, используя их во множестве разных ситуаций: когда разговариваем, читаем и пишем. Учителя-словесники не заставляют детей запоминать сотни лексических единиц и не проверяют их в условиях ограничений времени. Все дисциплины требуют запоминания тех или иных фактов, но математика — единственный предмет, преподаватели которого убеждены в необходимости тестов с ограничением времени. Почему так? У нас есть результаты исследований, подтверждающие, что ученики могут гораздо эффективнее усваивать математические факты в рамках увлекательных занятий; пора с их помощью избавить учеников от страха математики.

Когда я предъявляю родителям и учителям доказательства того, что детям нужно заниматься математикой на концептуальном и визуальном уровнях, некоторые спрашивают: «Разве не нужно много практиковаться?» Под практикой при этом подразумеваются многие страницы отдельных заданий по математике. Нужна ли ученикам практика по математике и в каком виде — вопрос интересный. Мы знаем, что процесс обучения сопровождается возбуждением синапсов, а чтобы в мозге произошли структурные изменения, нужно не единожды рассматривать идеи и глубоко изучать их. Но что это значит? Математические концепции действительно важно рассматривать неоднократно, но снова и снова «отрабатывать» методы бесполезно. Когда вы изучаете новую концепцию, стоит закрепить ее, и лучший способ сделать это — использовать ее разными способами. Мы вредим ученикам, когда формулируем самый простой вариант концепции и даем 40 заданий, в которых используется только он. Листы с письменными заданиями, в которых многократно повторяется одна и та же концепция, отталкивают учеников от математики; в них нет нужды, поскольку они не учат применять концепцию в разных ситуациях.

В своем бестселлере «Гении и аутсайдеры» [11]Малкольм Гладуэлл развивает идею о том, что для достижения высокого уровня мастерства в любой области нужны примерно 10 тысяч часов практики. Гладуэлл описывает достижения знаменитых музыкантов, шахматистов и спортсменов, отмечая при этом один важный момент. Многие считают, что такие люди, как Бетховен, гениальны от рождения. А Гладуэлл показывает, что они долго и упорно трудятся, чтобы добиться серьезных результатов, и обладают мышлением роста, которое помогает им в работе. К сожалению, многие люди, с которыми я беседовала, интерпретируют идею Гладуэлла так, будто ученики могут овладеть математикой на высоком уровне после 10 тысяч часов бездумной практики. Это неверно. Овладение математикой требует работы в истинном математическом смысле. Нам не нужно, чтобы ученики снова и снова отрабатывали один и тот же метод. Это не математика; такой подход не дает знания идей, концепций и взаимосвязей, позволяющего овладеть наукой на высоком уровне. В эти 10 тысяч часов необходимо изучать математику в целом, анализируя ее концепции и связи, решая задачи, делая умозаключения и связывая разные методы воедино.

Авторы большинства учебников в США используют стандартный подход, когда необходимо выделить методы, свести их к простейшей форме, а затем отрабатывать. Это создает ряд проблем. Во-первых, изучение отдельных методов вызывает скуку; многие дети теряют интерес к математике, когда им кажется, что их роль состоит в пассивном принятии конкретного метода (Boaler & Greeno, 2000) и его многократном повторении. Во-вторых, в большинстве практических заданий показан самый простой и обособленный вариант метода, поэтому ученики не имеют ни малейшего представления о том, когда и как еще они могут применить его.

Примеры концепций в учебниках тоже не показательны: составители пособий всегда выбирают самый простой вариант. В примере 4.1 приведены ответы учеников на математические вопросы в ходе научных исследований, а также отмечен характер проблемы, вызванной традиционной постановкой вопросов в учебниках.