Джо Боулер - Математическое мышление

Источник: PISA, 2012.

Лучшее, что мы можем сделать для учеников, — помочь им развить математическое мышление, понять, что суть математики — размышления, осмысление, важные идеи и связи, а не запоминание.

Превосходная методика подготовки учеников к процессу мышления и обучения (основанному на понимании связной, концептуальной природы математики) — стратегия под названием «Разговоры о числах». Это лучшая из известных мне стратегий одновременного обучения чувству числа и математическим фактам. Метод разработали Рут Паркер и Кэти Ричардсон. Это идеальное короткое обучающее упражнение, с которого учителя могут начинать урок и которое родители могут использовать дома. Необходимо поставить абстрактную математическую задачу и попросить учеников показать, как они в уме решат ее. Затем учитель собирает разные методы, которые используют ученики, и анализирует, почему они работают. Предложив ученикам найти произведение 15 × 12, учитель может выяснить, что они решили эту задачу пятью разными способами.

Ученики любят рассказывать о своих стратегиях; как правило, они увлеченно и с интересом анализируют разные методы, используемые при решении задач. Ученики осваивают ментальную математику, у них появляется возможность запомнить факты, а также формируется концептуальное понимание чисел и арифметических свойств, что крайне важно для успешного изучения алгебры и других разделов математики. Существует две книги, одну из которых написали Кэти Хамфриз и Рут Паркер (Humphreys & Parker, 2015), а другую — Шерри Пэрриш (Parrish, 2014), где представлено описание множества разговоров о числах, которые можно использовать в работе с учениками средней и начальной школы соответственно. Объяснение стратегии «Разговоры о числах» можно также найти на видео на сайте YouCubed. Это фрагмент моего онлайн-курса для учителей и родителей ( https://www.youcubed.org/categorteachingideas/number-sense).

Беседы о числах — лучший из известных мне педагогических методов, позволяющих развивать у учеников чувство числа и помочь им понять гибкую и концептуальную природу математики.

Мы много говорили о том, как обучать детей математике с помощью концептуального подхода, а также формированию представления о том, что математика — предмет, который должен быть наполнен смыслом и который можно изучать в рамках активного подхода. Лучше всего выбрать этот вариант с самого начала, но подход к математике и отношения с ней можно изменить в любое время. В следующей главе мы поговорим об учениках средней школы и взрослых, которые ненавидели математику, воспринимая ее как сугубо процедурную дисциплину. Но когда им рассказали о возможностях, обеспечиваемых мышлением роста, они начали использовать другие методы обучения. Я видела, как такие перемены происходят с учениками всех возрастов, в том числе со студентами Стэнфорда. На рисунке 4.5 показано влияние воздействия на мышление во время весеннего семестра в седьмом классе (Blackwell, Trzesniewski, & Dweck, 2007). Результаты исследований свидетельствуют, что после перехода в среднюю школу относительный уровень успеваемости учеников снижается, но у тех, на мышление которых было оказано воздействие, спад приостановился и началось повышение уровня успеваемости.

Рис. 4.5.Воздействие на мышление учеников

Источник: Blackwell et al., 2007.

Сигналы в отношении мышления очень важны для учеников, а когда они сопровождаются благоприятными возможностями для изучения математики, происходят поразительные события — и неважно, сколько лет ученикам.

Еще один способ предоставления ученикам возможностей для формирования вдумчивого, концептуального подхода к математике — применять игры и приложения, помогающие изучать дисциплину на концептуальном уровне. Подавляющее большинство математических игр и приложений бесполезны, поскольку ориентированы на выполнение однотипных заданий и запоминание. В данном разделе уделено особое внимание четырем приложениям, которые я считаю очень полезными: они позволяют ученикам заниматься концептуальной математикой с помощью визуальных инструментов. Я консультант трех из четырех компаний, разработавших эти игры и приложения (Wuzzit Trouble, Mathbreakers и Motion Math).

Wuzzit Trouble

Wuzzit Trouble (игра, которую разработали стэнфордский математик Кит Девлин и его команда) помогает ученикам исследовать важные математические концепции (сложение и вычитание, множители и кратные числа и т. п.) наряду с освоением гибкого подхода к работе с числами и стратегий решения задач. Цель игры — освободить маленькое существо из ловушки, повернув небольшую шестеренку, чтобы запустить колесо и собрать ключи. Уровень сложности повышается до действительно трудных головоломок. Есть разные версии этой игры, рассчитанные на определенные математические темы и уровни сложности.

Игра от компании BrainQuake работает на основе операционных систем iOS и Android; ее можно бесплатно загрузить с сайта http://wuzzittrouble.com.

Mathbreakers

Mathbreakers от Imaginary Number — видеоигра для учеников начальной школы, в которой персонажи передвигаются в игровой среде, вооружившись числами. Она не только позволяет ученикам играть с математикой, что само по себе очень важно, но и дает им возможность выполнять действия с числами — например, делить пополам, если игроку необходимо меньшее число, чтобы перейти мост. Это «бродилка» с участием чисел. Она знакомит учеников с числами на концептуальном уровне, в увлекательной открытой среде.

Mathbreakers работает на основе Mac, Windows и Linux ( https://www.mathbreakers.com).

Number Rack

Number Rack от Math Learning Center — приложение для учеников начальной школы, которое моделирует обучающий инструмент под названием Rekenrek («Счеты»), разработанный в Институте Фройденталя в Голландии ( http://www.k-5mathteachingresources.com/Rekenrek.html). Счеты Rekenrek — десять костяшек, нанизанных на стержень; чтобы получить числа больше десяти, можно добавить дополнительные стержни. В игре есть экран, которым можно прикрыть группы костяшек, чтобы ученики могли находить отсутствующее число в том или ином соотношении. Это удобный инструмент для счета и работы с десятью числами. Ученики могут передвигать костяшки и работать с числовыми парами и соотношениями на концептуальном уровне.

Number Rack есть в интернете в бесплатном доступе ( http://www.mathlearningcenter.org/web-apps/number-rack).

Motion Math

Приложение Motion Math, выпускаемое одноименной компанией, ориентировано на учеников начальной школы. Это ряд игр, которые помогают детям развивать визуальное понимание важных математических концепций, в частности чисел и дробей. Например, в игре Hungry Fish ученики соединяют числа, чтобы покормить рыбу. Игрокам нужно находить разные способы создания чисел. В игре Pizza игроки управляют пиццерией, готовя и продавая еду. В ходе игры ученики осваивают пропорциональное мышление, ментальную математику и даже азы экономики. В игре Fractions ученики перемещают шарик с определенной дробью в соответствующее место на числовой прямой. Игра Cupcake позволяет ученикам управлять собственным бизнесом. Игрок принимает решения по поводу кексов, доставляет их на своем автомобиле и вносит математические коррективы в заказы.