Джо Боулер - Математическое мышление

Себастьян продолжил забрасывать меня вопросами. Когда он спросил, каким должно быть хорошее задание по математике, я прервала беседу и спросила присутствующих, могу ли я задать им один математический вопрос. Они охотно согласились, и я разыграла мини-версию разговора о числах. Я попросила присутствующих подумать, как можно найти произведение 18 × 5, и показать мне, что ответ готов, молча подняв палец вверх. Вскоре у всех членов команды были ответы. В тот день для решения примера было использовано шесть разных методов, и я нарисовала их на столе, вокруг которого мы сидели (рис. 5.1).

Рис. 5.1.Визуальные решения примера 18 × 5

Затем мы обсудили сходство и различия между этими методами. Когда я изображала их с помощью рисунков, глаза присутствующих становились всё шире. Некоторые начали взволнованно вскакивать с мест. Кто-то сказал, что даже не представлял себе, как много способов анализа абстрактной числовой задачи существует. Другие были поражены тем, что существует визуальное представление такой задачи и оно так наглядно иллюстрирует математику.

Когда несколько дней спустя я приехала в Лондон, мне пришло электронное письмо от Энди, молодого разработчика курсов из Udacity. Он составил онлайновый мини-курс по примеру 18 × 5, в процессе работы над которым прохожих на улице спрашивали, как они решили бы этот пример, чтобы собрать разные методы. Члены команды были настолько воодушевлены этими идеями, что захотели сразу же выложить их в открытый доступ; в команде говорили даже о том, чтобы изготовить для всех сотрудников Udacity футболки с надписью «18 × 5».

Через несколько месяцев после встречи в Udacity я познакомилась с Люком Бартеле, который был тогда директором Wolfram Alpha — одной из самых важных математических компаний в мире. Люк прочитал о разных методах решения примера 18 × 5, которые я описала в своей книге (Boaler, 2015), и это так заинтересовало его, что он начал спрашивать всех, с кем встречался, как бы они решили этот пример. Я считаю важным рассказать об этой реакции, моментах глубокого воодушевления по поводу абстрактной математической задачи. Почему всем этим пользователям высшей математики, как и маленьким детям, так интересно представлять себе и анализировать разные методы решения на первый взгляд неинтересной задачи, такой как 18 × 5? Возможно, вовлеченность обусловлена тем, что люди отмечают в математике элемент творчества, и тем, что они по-разному видят математические идеи. Это интересно само по себе, но верно и то, что большинство моих знакомых, даже математики высокого уровня, никогда не осознавали, что числа могут быть настолько открытыми, а для решения задач с ними можно использовать так много разных способов. Вовлеченность еще больше усиливается, когда это осознание приходит вместе с глубоким визуальным пониманием математических методов работы.

Я использовала аналогичные задачи в работе с учениками средней школы, студентами Стэнфорда и генеральными директорами компаний. Все они демонстрировали одинаковую вовлеченность. Благодаря этому я поняла, что людей восхищают присущие математике гибкость и открытость. Это наука, которая требует точного мышления, но, когда оно сопровождается изобретательностью, гибкостью и многообразием идей, люди начинают воспринимать ее как живую науку. Учителя могут создавать такое воодушевление на уроках при работе над любыми задачами, предлагая ученикам описать разные способы представления и решения задач и поощряя обсуждение разных способов визуального представления. Они должны уделять внимание выполнению правил работы на уроке и объяснять ученикам, что те должны слушать и уважать мнение друг друга. В главе 7представлено описание стратегии, которая позволяет добиться этого. Если ученики уважают друг друга и внимательны к одноклассникам, очень интересно наблюдать, с какой вовлеченностью они рассказывают о разных способах решения задачи.

Следующий пример взят из совсем другой среды — занятий летней школы в районе Сан-Франциско, куда отправили учеников с низкой успеваемостью за прошедший учебный год. Вместе со своими студентами из Стэнфорда я преподавала математику в одном из четырех математических классов. Мы решили сосредоточиться на алгебре, но алгебра как таковая, бездумный поиск значения х , не была нашей конечной целью. Мы преподавали ее как инструмент, который можно использовать для решения содержательных, увлекательных задач. Наши ученики только что кончили шестой и седьмой классы, и большинство из них ненавидели математику. Примерно половина получила низшие оценки за прошедший учебный год (подробнее см.: Boaler, 2015; Boaler & Sengupta Irving, 2015).

Разрабатывая учебную программу для летней школы, мы использовали ряд ресурсов, в том числе книги Марка Дрисколла, математические задачи Рут Паркер, а также два учебных плана из Англии — SMILE (Secondary mathematics individualized learning experience — «Опыт индивидуального изучения математики в средней школе») и Points of Departure («Отправные пункты»). Задачу, которая вызвала воодушевление в данном случае, составила Рут Паркер. В ее рамках ученики должны были продолжить показанную в примере 5.1 растущую закономерность, представленную в виде кубиков, и определить, сколько кубиков будет на шаге 100. (Полные рабочие листы со всеми заданиями можно найти в приложениик этой книге.)

Как вы представляете себе рост фигур?

Материал предоставлен Рут Паркер; задача используется на курсах MEC (Mathematics Education Collaborative).

Ученики могли использовать кубики. Мы попросили детей работать группами, обсуждая разные идеи. Иногда группы формировали мы сами, а порой их создавали сами ученики. В день, о котором идет речь, я обратила внимание на интересную группу из троих мальчиков — самых непослушных в классе! До начала учебы в летней школе они не были знакомы друг с другом, но на протяжении большей части первой недели либо сами уклонялись от выполнения заданий, либо делали всё, чтобы отвлечь других от работы. Эти мальчишки постоянно что-то выкрикивали, когда другие писали на доске; в первые дни учебы их больше интересовало общение, чем обсуждение математических задач. На последнем занятии по математике Хорхе получил неудовлетворительную оценку, Карлос — удовлетворительную, а Люк — отличную. Но в день, когда мы дали ученикам это задание, что-то изменилось. Три мальчика трудились 70 минут, не останавливаясь, не отвлекаясь и не пытаясь уклониться от работы. В какой-то момент к ним подошли девочки и начали тыкать в них карандашами. Мальчики взяли свою работу и перешли к другому столу — настолько они были увлечены поиском решения.