Джо Боулер - Математическое мышление

Семинар Рут, как и обучение в нашей летней школе, был сосредоточен на алгебраическом мышлении. Ведущая давала учителям много задач на определение функциональных закономерностей. В тот день Рут выбрала интересную задачу из категории «низкий пол, высокий потолок»: с виду простую, но на деле сложную и глубокую. Учителя, которые принимали участие в семинаре, после этого начали изучать экспоненциальный рост и отрицательные показатели степени.

Элизабет и другие учителя приступили к работе, раскладывая и упорядочивая цветные счетные палочки Кюизенера, чтобы найти все способы формирования последовательностей, соответствующих длине трех выбранных ими палочек. Некоторые решили начать с палочки длиной 10 — и задача заметно усложнилась, поскольку существует 1024 способа образовать последовательности такой же длины, что и палочка длиной 10! Рут знала, что ее задача не в том, чтобы избавлять учителей от проблем, а в том, чтобы дать им возможность погрузиться в математические детали задачи. Поднапрягшись, некоторые из этих учителей вспомнили то, что узнали на семинаре немного раньше: важный математический навык, которым ученики могут так и не овладеть за одиннадцать лет, — начинать с меньшего. Учителя поработали со счетными палочками разной длины и увидели, как формируется закономерность и на визуальном, и на числовом уровне (пример 5.2).

Определите, сколько разных последовательностей можно составить для палочек любой длины. Например, для светло-зеленой палочки можно составить четыре последовательности.

Материал предоставлен Рут Паркер; задача используется на курсах MEC (Mathematics Education Collaborative).

И тут Рут показала учителям треугольник Паскаля и предложила им исследовать его связь с задачей с палочками Кюизенера и знаменитым треугольником (см. пример 5.3).

Потратив много сил на выполнение этого задания, учителя с удивлением обнаружили, что все их варианты находятся в треугольнике Паскаля. Именно этот момент растрогал Элизабет до слез, и я ее понимаю. Для любого человека, который воспринимал математику как совокупность несвязных процедур, а затем получил возможность исследовать визуальные и числовые закономерности, научившись видеть и понимать связи, это сильнейший опыт. Тогда Элизабет и обрела уверенность в своих интеллектуальных возможностях и способности самостоятельно обнаруживать математические идеи и связи.

С этого момента отношения Элизабет с математикой изменились, и она уже никогда не возвращалась к прошлому. Я встретилась с ней год спустя, когда она снова проходила курс Рут Паркер, чтобы освоить еще более эффективный подход к изучению математики. Элизабет рассказала мне обо всех замечательных изменениях, которые она внесла в свои методы преподавания, и о трепетном отношении ее подопечных к математике.

Опыт нового в и дения математики, который получила Элизабет, когда впервые узнала о математических связях, я постоянно использую в работе с разными детьми и взрослыми. И эмоции, которые они испытывают, прямо связаны с опытом обнаружения, изучения и осмысления математических связей.

Этот пример связан с задачей, которую я использовала в работе со своей группой по подготовке учителей в Стэнфорде и с другими группами учителей. Она вызывает такое сильное воодушевление, что не рассказать о ней нельзя. Это одна из задач на рост закономерности, но с одним дополнением, которому я и хочу уделить особое внимание. Задачу придумал Карлос Кабана — замечательный учитель, с которым я работаю. В примере 5.4 показана задача, которую он обычно ставит ученикам.

1. Как выглядел бы рисунок 100?

2. Представьте себе, что вы могли бы продолжить построение этой модели в обратном направлении. Сколько ячеек было бы на рисунке –1? (Да, рисунок минус один, что бы это ни значило!)

3. Как выглядел бы рисунок –1?

На основе материалов Карлоса Кабаны.

Один из вопросов, поставленных в этой задаче, звучит так: сколько ячеек было бы на рисунке –1 (если бы нужно было продолжить закономерность в обратном направлении, сколько ячеек было бы на шаге –1)? Задавая этот вопрос учителям, я обнаружила, что им легко найти ответ. Гораздо более интересным и сложным был вопрос о том, как выглядел бы рисунок на шаге –1. Когда я включила этот вопрос в задачу, произошло кое-что поразительное. Решение (которое я не буду здесь раскрывать) требует напряженных размышлений; учителя шутили, что, когда они пытались найти это решение, у них заболела голова и произошло возбуждение синапсов. Существует ряд способов добраться до шага –1 и правильных вариантов визуального представления. Но и числовое решение не единственное. Задача перемещается в неизведанную и захватывающую область — анализ вопроса о том, что такое отрицательный квадратный корень. Некоторые учителя поняли, что им необходимо поразмышлять об отрицательном пространстве , а также о том, как выглядела бы ячейка, отображенная на себя. Когда я поставила эту задачу свой группе учителей из Стэнфорда, они от волнения перепрыгивали через столы и пытались представить отрицательное пространство, протыкая в бумаге отверстия, чтобы показать, как ячейки переходят туда. Один из учителей понял и рассказал другим о том, что эту функцию можно представить в виде параболы (рис. 5.16). Другой спросил меня, куда уйдет эта парабола — останется ли на положительной части оси ординат или примет отрицательное значение.

Рис. 5.16.Дилемма с параболой

Этот вопрос показался членам группы очень увлекательным, и они активно старались во всем разобраться. В конце занятия будущие учителя пришли к выводу, что испытали истинное воодушевление и знают, какие ощущения хотят вызывать у своих учеников на уроках.

Но что именно вызвало такое воодушевление? Когда недавно я поставила эту задачу ведущим учителям в Канаде, она так увлекла их, что я не могла заставить их остановиться. Кое-кто даже шутил по этому поводу. В Twitter появилось сообщение: «Джо Боулер не может оторвать нас от задачи, которую нам поставила».