Джо Боулер - Математическое мышление

Если вы футбольный вратарь, а нападающий команды противника оторвался от остальных и бежит к вам, какую позицию вам лучше занять? Попытайтесь определить разные позиции в зависимости от местоположения нападающего в момент, когда он сделает удар.

Чтобы привнести элемент реальности в учебные аудитории, я советую использовать подлинные данные и ситуации, давая контекст только тогда, когда он нужен. Убедитесь, что это не заставит учеников отказаться от осмысления происходящего и ухода в Страну математики.

Группа PISA при ОЭСР провела интересный и полезный анализ сильных и слабых сторон, которые продемонстрировали американские ученики в ходе международных тестов PISA по математике. По результатам этого анализа исследователи пришли к выводу, что низкий уровень знаний американских школьников связан с искусственным контекстом, который используется на уроках и не знакомит учеников с принципами применения переменных из реального мира, а учит игнорировать их. Ниже приведены полезные рекомендации PISA в части способов вовлечения учеников и создания условий для успешного изучения математики.

Создается впечатление, что американские школьники особенно сильны в применении математических навыков и способностей, менее требовательных в когнитивном плане, таких как выделение отдельных значений на диаграммах и операции с хорошо структурированными формулами. Но у них слабо развиты когнитивные навыки и способности, необходимые для того, чтобы тщательно анализировать реальные ситуации, переводить их в математические категории и интерпретировать математические аспекты в задачах реального мира. Хорошо известная поверхностная учебная стратегия «Не обращайте внимания на контекст, возьмите из текста числа и выполните очевидные действия» обречена на провал. Она широко применяется во всем мире и часто помогает учащимся справляться с математикой в школе и сдавать экзамены. Но в процессе выполнения типичного задания теста PISA на математическую грамотность учащиеся должны использовать знания, опирающиеся на прочный фундамент. Очевидно, что у американских школьников возникают большие трудности с такими задачами. <���…> Что касается последствий, тут есть одна четкая рекомендация: уделять гораздо больше внимания видам деятельности более высокого порядка, таким как математическое моделирование (осмысление ситуаций из реального мира, их перенос на математические модели и интерпретация математических результатов), без ущерба для базовых навыков, необходимых для этих видов деятельности (Organisation for Economic Co-operation and Development [OECD], 2013).

Команда PISA обнаружила феномен, проистекающий из недостатков заданий, которые дают ученикам в США. Члены команды обратили внимание на то, что склонность учеников игнорировать контекст и просто использовать числа приводит к тому, что они не справляются с заданиями. Это отражает низкое качество заданий с искусственным контекстом, которые используются в учебниках в США. К сожалению, стратегии, которые обычно изучают американские школьники на уроках, не принесут им пользы и после вступления в трудовую жизнь. На уроках математики ученики должны работать над заданиями, которые требуют изучения реальной ситуации, использования переменных из реального мира и анализа подлинных данных. Им необходимо научиться создавать математические модели на основе реальных ситуаций и решать задачи. Это увлекательный процесс, чрезвычайно важный для будущего учеников.

Стимулируйте учеников ставить вопросы, рассуждать, обосновывать свои выводы и быть скептиками

Математик должен сразу поставить интересный вопрос. Этот метод практически не применяется на уроках, хотя и играет важнейшую роль в математической работе. Ник Фут — замечательный учитель третьего класса и друг, который учил обеих моих дочерей, что дало нам возможность часто обсуждать вопросы математики. Иногда на своих уроках он описывает ситуацию и предлагает ученикам поставить математические вопросы. Однажды я присутствовала на уроке Ника, когда он дал ученикам такое задание.

Вы хотите купить браслеты из резинок. Для этого вы отправляетесь в магазин и находите там следующие варианты.

Двухцветные браслеты — 0,5 долл. за один браслет или 3 браслета за 1 долл.

Многоцветные браслеты — 1 долл. за один браслет или 3 браслета за 2,5 долл.

Материалы, необходимые для самостоятельного изготовления браслета

Пакет с 600 резинками — 3 долл. или 4 пакета за 10 долл.

Пакет с 600 резинками, светящимися в темноте, — 5 долл.

Станок Wonder Loom.

Затем Ник предложил группам учеников обсудить эту ситуацию и сформулировать вопросы. В примере 9.11 показан рабочий лист, который он выдает ученикам для выполнения этого задания.

Члены группы:

Дата:

Мы хотели бы знать: __________

Используйте рисунки, числа и слова, чтобы показать, как вы ответили на этот вопрос.

Мы хотели бы проанализировать: __________

Используйте рисунки, числа и слова, чтобы показать, как вы ответили на этот вопрос.

Ученики с воодушевлением начали размышлять над такими вопросами: почему готовые браслеты обходятся так дорого? Они смогли найти ответ, выяснив, во сколько обошлось бы самостоятельное изготовление браслетов, а затем проанализировав затраты на продажи через магазин. Ученики задавали реальные вопросы, которые требовали большей вовлеченности и обучения.

После выхода на рынок труда в нашем высокотехнологичном мире от учеников будут ожидать выполнения одной очень важной работы: постановки вопросов в связи с различными ситуациями или большими объемами данных. Компаниям все чаще приходится иметь дело с огромными массивами данных, поэтому сотрудников, которые умеют задавать творческие и интересные вопросы, будут высоко ценить на работе. Когда я предлагала ученикам рассмотреть ту или иную ситуацию и сформулировать свои вопросы, они сразу включались в работу, с воодушевлением опираясь на собственные идеи. Такой метод легко реализовать на уроках математики, и его необходимо время от времени использовать. Люди должны иметь возможность освоить его в школе, чтобы быть готовыми к его применению в дальнейшей жизни.

Рассказывая о своей роли в качестве работодателя, Конрад Вольфрам говорит, что ему не нужны сотрудники, которые умеют быстро считать, поскольку это могут делать компьютеры. Ему нужны сотрудники, способные выдвигать гипотезы и говорить о своих математических методах. Крайне важно, чтобы сотрудники рассказывали о своих математических методах другим членам команды: тогда остальные также смогут воспользоваться этими методами в своей работе и исследованиях и смогут увидеть, есть ли ошибки в соответствующих размышлениях или логике. В этом и состоит суть математической работы, которая называется рассуждением.