Джо Боулер - Математическое мышление

Как же помочь ученикам увидеть широкое применение математики и ее практическую ценность, не прибегая к псевдоконтексту? В мире есть множество удивительных ситуаций, которые можно объяснить с помощью математики. Мой онлайн-курс помог слушателям понять это, показав им математику в снежинках, работе пауков, жонглировании и танцах, а также в криках дельфинов. Такая математика охватывает все уровни: от начальной школы до старших классов (Stanford Online Lagunita, 2014). Не все математические задачи могут или должны быть помещены в контекст реального мира: некоторые из самых замечательных задач, с помощью которых школьники осваивают количественное мышление, не имеют контекста. Но важно сделать так, чтобы ученики хотя бы время от времени видели применимость математики и работали с переменными из реального мира.

Конрад Вольфрам призывает тех, кто смотрит его выступление на TED, рассматривать математику как дисциплину, во главе угла которой находится постановка вопросов и формирование математических моделей (Wolfram, 2010). Он подчеркивает, что моделирование занимает центральное место в математике этого мира. В стандартах Common Core также делается акцент на моделировании как стандартной математической практике.

Моделирование с помощью математики

На мой взгляд, один из важнейших аспектов вклада стандартов Common Core состоит в том, что они включают в себя математическую практику: действия, которые важны для математики и которые ученикам необходимо выполнять, осваивая эту науку. «Моделирование с помощью математики» — один из восьми стандартов математической практики (см. врезку).

Учащиеся, владеющие математикой, могут применять свои знания к решению задач, которые возникают в повседневной жизни, в обществе и на работе. В начальных классах это может быть составление числового выражения со сложением для описания ситуации. В средней школе ученик может применить пропорциональное рассуждение для планирования школьного события или анализа проблемы, возникшей в местном сообществе. В старших классах он может использовать геометрию для решения конструкторской задачи или применить функцию для описания того, как одна искомая величина зависит от другой. Учащиеся, которые владеют математикой и могут применить свои знания на практике, не боятся делать предположения и приближения, чтобы упростить сложную ситуацию, осознавая, что позже их, возможно, придется пересмотреть. Они способны выявить важные величины в практической ситуации и составить схему соотношения между ними с помощью таких инструментов, как диаграммы, таблицы с двумя входами, графики, блок-схемы и формулы. Они могут проанализировать эти соотношения математическими методами, чтобы сделать выводы. Они систематически интерпретируют полученные математические результаты в контексте ситуации и размышляют о том, имеют ли эти результаты смысл, после чего могут усовершенствовать модель, если она не соответствует своему назначению.

Источник: Common Core State Standards Initiative, 2015.

Акт моделирования можно рассматривать как упрощение задачи из реального мира и ее приведение к чистому математическому виду, который помогает решить ее. Моделирование осуществляется во всех областях математики, но ученики, как правило, не знают о том, что занимаются им, или им не предлагали поразмышлять над этим.

Рон Федкив — специалист по прикладной математике Стэнфордского университета, который занимается компьютерными спецэффектами. Его математические модели легли в основу спецэффектов в таких признанных фильмах, как «Пираты Карибского моря: сундук мертвеца» и «Звездные войны. Эпизод III. Месть ситхов». Федкив занимался чистой математикой до 23 лет, после чего перешел в область прикладной математики. На работе он создает новые алгоритмы, позволяющие вращать объекты, имитировать столкновения и «математически соединять слои падающей капли воды».

Математическое моделирование используется также в уголовных делах и помогло раскрыть много громких убийств. NUMB3RS («Числа») — успешный телесериал об агенте ФБР, который часто прибегает к помощи своего брата-математика. В первом эпизоде представлена реальная история о жестоком серийном убийце. Агенты ФБР отслеживали места, где побывал маньяк, но не могли увидеть закономерность. Оказавшись в тупике, агент ФБР вспомнил, что его брат-математик всегда называет математику наукой о закономерностях. Он попросил брата о помощи. Математик проанализировал ситуацию с учетом важной информации о серийных убийцах, в частности того факта, что они чаще всего нападают на своих жертв неподалеку от дома, но оставляют буферную зону, в пределах которой не совершают нападений. Он пришел к выводу, что может определить закономерность с помощью упрощенной математической модели. Она позволяла выявить «горячую зону», в которой с большой вероятностью мог жить серийный убийца. Агенты ФБР допросили всех мужчин определенного возраста, которые жили в этой зоне, и дело было раскрыто. Этот эпизод основан на трудах математика Кима Россмо, разработавшего метод определения географического местоположения преступника (Criminal Geographic Targeting, CGT) с использованием математических моделей, который применяют стражи порядка во всем мире.

Предлагая ученикам взять задачу из реального мира, основанную на реальных данных и ограничениях, и решить ее с помощью математики, мы тем самым предлагаем им смоделировать соответствующую ситуацию. По словам Вольфрама, ученики должны столкнуться с задачей реального мира или найти ее, составить модель решения, выполнить вычисления (возможно, с помощью калькулятора или компьютера), а затем выяснить, верен ли полученный ответ или модель необходимо усовершенствовать. Он обращает внимание на то, что сейчас ученики тратят 80% времени на уроках математики на выполнение вычислений, а вместо этого им следует работать над тремя другими аспектами: созданием моделей, их уточнением и использованием для решения реальных задач.

На уроках алгебры ученикам часто предлагают вычислить что-то, а не создать модель с использованием алгебры. Возьмем в качестве примера такую задачу.

Человек, который придерживается диеты, идет в магазин, чтобы купить индюшатины. Ему дают три кусочка, общий вес которых составляет 1/ 3фунта, но в диете сказано, что он может съесть только 1/ 4фунта. Какую часть купленного мяса может съесть этот человек, чтобы не нарушить диету?

Для многих это трудная задача. Но проблемы, с которыми сталкивается большинство, связаны не с вычислениями, а с созданием модели решения. Я много где писала об элегантных визуальных решениях, которые нашли дети для этой задачи (Boaler, 2015a). Вот то, которое предложил один ученик четвертого класса.