Джо Боулер - Математическое мышление

Многие могут усомниться в этом; мои студенты из Стэнфорда пришли в смятение, когда я впервые познакомила их с этой идеей. Но они охотно размышляли над способами обсуждения концепций анализа с детьми младшего возраста. Дебора Болл твердо убеждена в целесообразности такого подхода; она говорит, что «дети проявляют интерес, размышляют и изобретают глубокие и сложные вещи» (Ball, 1993, p. 374). Если мы освободим учителей и учеников от иерархии преподавания математики, которую предписывают нормативные требования к содержанию учебной программы, и позволим им исследовать концепции более высокого уровня, которые могут быть весьма увлекательными (четвертое измерение, отрицательное пространство, исчисление или фракталы), у нас появится возможность приобщить их к истинному математическому воодушевлению и открыть им путь к исследованию интересных концепций в любом возрасте. Я не утверждаю, что нам следует преподавать формальную математику высокого уровня детям младшего возраста, но мне нравится возможность, о которой говорят Брунер и Болл: что любую область математики можно преподавать в достаточно адекватной форме в любом возрасте. Это захватывающая и важная идея.

Цените глубину больше, чем скорость

Вот что в первую очередь стоит изменить на уроках математики во всем мире: мысль о том, что здесь скорость важнее глубины. Математика страдает от этой идеи в большей степени, чем любой другой предмет, а из-за этого страдают и дети, изучающие ее. Но ведущие математики мира (Мариам Мирзахани, Стивен Строгац, Кит Девлин и Лоран Шварц, которые получили высшие награды за свою работу) говорят о том, что работают медленно и глубоко, без спешки. В главе 4 я привела цитату Лорана Шварца, в которой есть и такие слова: «Важно глубоко понимать суть вещей и их взаимосвязь друг с другом». Шварц говорит о том, что ощущал себя «тупым» в школе, потому что размышлял медленно, и призывает читателей понять, что суть математики — глубина и связи, а не поверхностное знание фактов и быстрая работа.

Математика — дисциплина, которая должна всегда придавать особое значение глубине мышления и связям. Во время недавнего визита в Китай у меня была возможность побывать на нескольких уроках математики в средних и старших классах разных школ. Китай со значительным отрывом превосходит все остальные страны по результатам тестов PISA и других тестов (PISA, 2012). Поэтому многие считают, что уроки математики в Китае сфокусированы на скорости и зубрежке. Но мои наблюдения показали нечто совершенно иное. На каждом уроке, за которым я наблюдала, учителя и ученики прорабатывали не более трех вопросов за один урок продолжительностью один час. Учителя объясняли ученикам разные концепции (даже те, которые носят более определительный и шаблонный характер, чем другие концепции в математике, такие как концепция дополнительных и смежных углов) с установкой на исследования. Во время одного урока учительница вместе с учениками исследовала значение дополнительных и смежных углов, приводя примеры и предлагая «тщательно проанализировать вопрос», а затем обсудила с ними возникшие вопросы и идеи (видео можно посмотреть здесь: YouCubed at Stanford University, 2015d; www.youcubed.org/high-quality-teaching-examples/). Последовавшее за этим обсуждение проходило на таком уровне глубины, которого я не видела за весь свой опыт наблюдения за уроками математики по этой теме. Учительница брала идеи учеников и формулировала неправильные утверждения, чтобы ученики раскритиковали ее и класс проанализировал все возможные соотношения между углами, соответствующие определениям.

Ниже приведен фрагмент расшифровки типичного урока математики в США по теме дополнительных и смежных углов, который взят из видео, снятого в процессе изучения преподавания в разных странах в рамках исследования TIMSS [19](Stigler & Hiebert, 1999).

Учитель: Здесь мы имеем вертикальные и смежные углы. Какой угол является вертикальным по отношению к углу А?

Ученики (хором): 70 градусов.

Учитель: А значит, угол А должен составлять?..

Ученики (хором): 70 градусов.

Учитель: Теперь у вас есть смежные углы. Какой угол является смежным по отношению к А?

Ученики (хором): Угол Б.

Учитель: Угол Б, а также…

Ученики: Угол В.

Учитель: Чему равна сумма смежных углов?

Ученики: 180°.

В приведенном выше фрагменте мы видим вопросы с одним ответом, к которому учитель подводит учеников. Сравните это с уроком, который мы наблюдали в Китае и во время которого учительница не задавала таких вопросов, как «Чему равна сумма смежных углов?» Она задавала вопросы такого типа: «Могут ли два острых угла быть смежными? Могут ли два смежных угла быть острыми?» Такие вопросы требуют от учеников более глубоких размышлений об определениях и соотношениях. Ниже представлен фрагмент урока в Китае, на котором я присутствовала и который очень отличается от урока в США.

Ученик: Как он только что сказал, если есть два равных угла, сумма величин которых равна 180°, это должны быть два прямых угла. Поскольку величины острых углов всегда меньше 90°, сумма величин двух острых углов не будет больше 180°.

Учитель: Следовательно, если два угла смежные, они должны быть тупыми?

Ученик: Нет.

Учитель: Нет? Почему? Думаю, если два угла являются смежными, они должны быть тупыми.

Ученик: Я считаю, что это может быть один острый и один тупой угол.

Учитель: Он говорит, что, хотя два смежных угла не могут быть острыми, это могут быть один острый и один тупой угол.

Ученик: Например, как угол 1 и угол 5 в том вопросе. Один острый, другой тупой.

Учитель: Хорошо. Если есть два смежных угла, хотя бы один из них острый.

Другие ученики: Нет, хотя бы один угол должен быть больше 90°.

Ученик: Есть исключение: когда оба угла прямые.

Уроки в США и Китае кардинально отличаются друг от друга. В США учитель ставит ученикам процедурные вопросы, а те дают единственный возможный ответ. Вопросы учителя, будто взятые из учебника, касались простого примера с углами, а ученики давали определения, которые они изучили. На уроке в Китае учительница не ставила вопросы в духе «закончите это предложение»; она выслушивала идеи учеников и формулировала провокационные утверждения, которые помогали ученикам глубже понять суть изучаемого материала. Утверждения учительницы побуждали учеников выдвигать в ответ гипотезы и аргументы, размышляя о соотношениях между разными углами.

Во второй части урока основное внимание уделялось диаграммам, которые могли нарисовать ученики, чтобы проиллюстрировать изученные соотношения между углами. Дети составляли разные диаграммы, меняя направление и двигая по кругу лучи и стороны треугольников. Они обсуждали идеи друг с другом и с учительницей, задавая вопросы по поводу этих идей и развивая их до такой глубины, какой я не могла себе даже представить, пока не побывала на том уроке. Когда ученики обсуждали диаграммы соотношений между углами, один из них сказал: «Это просто захватывающе». Вряд ли найдется много учеников, которые пришли бы к такому выводу на уроке в США.